20.2 Integration über meßbare Mengen

20.2.1 Definition. Integration über beschränkte Mengen.
Es sei $\bgroup\color{proclaim}$ B\subseteq \mathbb{R}^p$\egroup$ beschränkt. Dann heißt $\bgroup\color{proclaim}$ f:B\to\mathbb{R}$\egroup$ Riemann-integrierbar (auf $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ ) $\bgroup\color{proclaim}$ :\Leftrightarrow$\egroup$ für ein (alle) kompaktes mehrdimensionales Intervall $\bgroup\color{proclaim}$ I\supseteq B$\egroup$ ist die Fortsetzung $\bgroup\color{proclaim}$ f_B:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}$\egroup$ von $\bgroup\color{proclaim}$ f$\egroup$ , die durch

$\bgroup\color{proclaim}$\displaystyle x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} f(x) &\text{für }x\in B \\ 0 &\text{andernfalls} \end{array}\right. $\egroup$

definiert ist, über $\bgroup\color{proclaim}$ I$\egroup$ Riemann-integrierbar. Man setzt

$\bgroup\color{proclaim}$\displaystyle \int_B f := \int_I f_B. $\egroup$

Eine beschränkte Menge $\bgroup\color{proclaim}$ B\subseteq \mathbb{R}^p$\egroup$ heißt Jordan-meßbar $\bgroup\color{proclaim}$ :\Leftrightarrow$\egroup$ die konstante Funktion $\bgroup\color{proclaim}$ 1:B\to\mathbb{R}$\egroup$ ist Riemann-integrierbar über $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ , d.h. die charakteristische Funktion $\bgroup\color{proclaim}$ \chi _B$\egroup$ ist Riemann-integrierbar über ein/jedes kompakte Intervall, welches $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ enthält. Das Volumen oder auch Maß einer $\bgroup\color{proclaim}$ J$\egroup$ -meßbaren Menge definiert man als $\bgroup\color{proclaim}$ \vert B\vert:=\int_B 1$\egroup$ .

20.2.2 Proposition. $\bgroup\color{proclaim}$ J$\egroup$ -Meßbarkeit.
Eine Teilmenge $\bgroup\color{proclaim}$ B\subseteq \mathbb{R}^p$\egroup$ ist genau dann $\bgroup\color{proclaim}$ J$\egroup$ -meßbar, wenn $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ beschränkt und der Rand $\bgroup\color{proclaim}$ \d B$\egroup$ von $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ eine Lebesgue-Nullmenge ist.

Unter dem Rand $\bgroup\color{proclaim}$ \d B$\egroup$ einer Menge $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ versteht man die Menge jener Punkte, für welche jede $\bgroup\color{proclaim}$ \varepsilon $\egroup$ -Umgebung sowohl Punkte aus $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ als auch aus dem Komplement vom $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ besitzt.

Beweis. $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -meßbar $\bgroup\color{demo}$ :\Leftrightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ \chi _B$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar über ein hinreichend großes Intervall $\bgroup\color{demo}$ I$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ \Leftrightarrow$\egroup$ die Menge $\bgroup\color{demo}$ \Delta (\chi _B)$\egroup$ der Unstetigkeitspunkte ist eine Lebesgue-Nullmenge (nach (20.2.4)). Wegen $\bgroup\color{demo}$ \Delta (\chi _B)=\d B$\egroup$ . []

20.2.3 Folgerung.
Es seien $\bgroup\color{demo}$ A$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -meßbar. Dann sind auch $\bgroup\color{demo}$ A\cup B$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ A\cap B$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ A\setminus B$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -meßbar.

Beweis. Es ist $\bgroup\color{demo}$ \d (A\cup B)\subseteq \d (A)\cup \d (B)$\egroup$ . Angenommen $\bgroup\color{demo}$ x\in \d (A\cup B)$\egroup$ aber nicht $\bgroup\color{demo}$ x\in \d (A)\cup \d (B)$\egroup$ . Dann trifft jede Umgebung $\bgroup\color{demo}$ U$\egroup$ von $\bgroup\color{demo}$ x$\egroup$ sowohl $\bgroup\color{demo}$ A\cup B$\egroup$ als auch $\bgroup\color{demo}$ {\sim }(A\cup B)={\sim } A\cap{\sim } B\subseteq {\sim } A$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ {\sim } B$\egroup$ . Andererseits existieren zwei Umgebungen $\bgroup\color{demo}$ U_A$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ U_B$\egroup$ von $\bgroup\color{demo}$ x$\egroup$ die $\bgroup\color{demo}$ A$\egroup$ bzw. $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ nicht treffen (Die Komplemente treffen sie ja immer). Dann trifft $\bgroup\color{demo}$ U:=U_A\cap U_B$\egroup$ die Menge $\bgroup\color{demo}$ A\cup B$\egroup$ nicht, ein Widerspruch.

$\displaystyle \d (A\cap B)$	$\displaystyle = \d ({\sim }({\sim } A\cup {\sim } B)) = \d ({\sim } A\cup {\sim } B) \subseteq \d ({\sim } A)\cup\d ({\sim } B)$
	$\displaystyle =\d (A)\cup \d (B)$ und
$\displaystyle \d (A\setminus B)$	$\displaystyle =\d (A\cap{\sim } B) \subseteq \d (A)\cup\d ({\sim } B) =\d (A)\cup\d (B).{\rm\quad[]}$

20.2.4 Lebesgue'sches Integrabilitätskriterium.
Es sei $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -meßbar. Dann ist eine beschränkte Funktion $\bgroup\color{demo}$ f:B\to\mathbb{R}$\egroup$ genau dann $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar, falls $\bgroup\color{demo}$ f$\egroup$ fast überall stetig auf $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ ist.

Beweis. Es sei $\bgroup\color{demo}$ I$\egroup$ ein Intervall, welches $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ im Inneren enthält. Dann ist $\bgroup\color{demo}$ f:B\to\mathbb{R}$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar $\bgroup\color{demo}$ :\Leftrightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ f_B:I\to \mathbb{R}$\egroup$ ist $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar $\bgroup\color{demo}$ \Leftrightarrow$\egroup$ die Menge $\bgroup\color{demo}$ \Delta (f_B)$\egroup$ ist eine Lebesgue-Nullmenge (nach (20.1.2)) $\bgroup\color{demo}$ \Leftrightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ \Delta (f_B)\cup \d B=\Delta (f)\cup \d B$\egroup$ ist eine Lebesgue-Nullmenge $\bgroup\color{demo}$ \Leftrightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ \Delta (f)$\egroup$ ist Lebesgue-Nullmenge. []

20.2.5 Folgerung. Integral ist linear.
Es sei $\bgroup\color{demo}$ B\subseteq \mathbb{R}^p$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -meßbar und $\bgroup\color{demo}$ f$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ g$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar auf $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ \lambda \in\mathbb{R}$\egroup$ . Dann ist $\bgroup\color{demo}$ f+\lambda g$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar auf $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ \int_B (f+\lambda g)=\int_B f+\lambda \int_B g$\egroup$ . Weiters sind $\bgroup\color{demo}$ \Vert f\Vert$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ \max\{f,g\}$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ \min\{f,g\}$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ f\cdot g$\egroup$ allesamt $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar auf $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ .

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle \biggl\vert\int_B f\biggr\vert \leq \int_B \vert f\vert. $\egroup$

Falls $\bgroup\color{demo}$ \exists\gamma >0\forall x:\vert g(x)\vert\geq\gamma $\egroup$ , so ist auch $\bgroup\color{demo}$ f/g$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar auf $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ . Und aus $\bgroup\color{demo}$ f\geq g$\egroup$ folgt $\bgroup\color{demo}$ \int_B f\geq \int_B g$\egroup$ . []

20.2.6 Mittelwertsatz.
Es sei $\bgroup\color{proclaim}$ B\subseteq \mathbb{R}^p$\egroup$ $\bgroup\color{proclaim}$ J$\egroup$ -meßbar und $\bgroup\color{proclaim}$ f$\egroup$ $\bgroup\color{proclaim}$ R$\egroup$ -integrierbar auf $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ . Dann ist

$\bgroup\color{proclaim}$\displaystyle \vert B\vert \inf(f(B)) \leq \int_B f \leq \vert B\vert \sup(f(B)).{\rm\quad[]} $\egroup$

20.2.7 Folgerung. Integral über $\bgroup\color{proclaim}$ J$\egroup$ -Nullmengen.
Es sei $\bgroup\color{proclaim}$ N$\egroup$ eine $\bgroup\color{proclaim}$ J$\egroup$ -Nullmenge, d.h. $\bgroup\color{proclaim}$ N$\egroup$ ist $\bgroup\color{proclaim}$ J$\egroup$ -meßbar und $\bgroup\color{proclaim}$ \vert N\vert=0$\egroup$ . Dann ist jede beschränkte Funktion $\bgroup\color{proclaim}$ f:N\to\mathbb{R}$\egroup$ $\bgroup\color{proclaim}$ R$\egroup$ -integrierbar mit $\bgroup\color{proclaim}$ \int_N f=0$\egroup$ .

Beweis. Wegen $\bgroup\color{demo}$ \Delta (f)\subseteq N$\egroup$ ist $\bgroup\color{demo}$ f$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar nach dem Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium (20.2.4). Wegen dem Mittelwertsatz (20.2.6) ist $\bgroup\color{demo}$ 0=\inf f(N) \vert N\vert\leq \int_N f\leq \sup f(N) \vert N\vert=0$\egroup$ , also $\bgroup\color{demo}$ \int_N f=0$\egroup$ . []

20.2.8 Proposition.

$\bgroup\color{demo}$ B\subseteq \mathbb{R}^p$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -meßbar $\bgroup\color{demo}$ \Leftrightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ ist beschränkt und $\bgroup\color{demo}$ \d B$\egroup$ ist $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -Nullmenge.

Beweis. Kompakte Mengen sind genau dann Lebesgue-Nullmengen, wenn sie Jordan-Nullmengen sind. Sei nämlich $\bgroup\color{demo}$ N$\egroup$ eine kompakte Lebesgue-Nullmenge, $\bgroup\color{demo}$ \varepsilon >0$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ \{I_k:k\in\mathbb{N}\}$\egroup$ eine Menge von Intervallen die $\bgroup\color{demo}$ N$\egroup$ überdecken mit $\bgroup\color{demo}$ \sum_k \vert I_k\vert<\frac{\varepsilon }2$\egroup$ . Indem wir das $\bgroup\color{demo}$ k$\egroup$ -te Intervall $\bgroup\color{demo}$ I_k$\egroup$ zu einem Intervall $\bgroup\color{demo}$ J_k$\egroup$ aufblasen mit $\bgroup\color{demo}$ \vert J_k\vert\leq \vert I_k\vert+\frac{\varepsilon }{2^{k+1}}$\egroup$ erhalten wir eine Überdeckung mit offenen Quadern mit Gesamtvolumen $\bgroup\color{demo}$ \leq\sum_k \vert J_k\vert<\frac{\varepsilon }2+\frac{\varepsilon }2=\varepsilon $\egroup$ . Da $\bgroup\color{demo}$ N$\egroup$ kompakt ist genügen endlich viele. []

20.2.9 Folgerung. Einschränkung integrierbarer Funktionen.
$\bgroup\color{demo}$ f:B\to\mathbb{R}$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar, $\bgroup\color{demo}$ A\subseteq B$\egroup$ beide $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -meßbar $\bgroup\color{demo}$ \Rightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ f\vert _A:A\to\mathbb{R}$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar. []

20.2.10 Proposition. Additivität des Integrals bzgl. des Bereichs.
Es sei $\bgroup\color{proclaim}$ f:A\cup B\to\mathbb{R}$\egroup$ $\bgroup\color{proclaim}$ R$\egroup$ -integrierbar auf den $\bgroup\color{proclaim}$ J$\egroup$ -meßbaren Mengen $\bgroup\color{proclaim}$ A$\egroup$ und $\bgroup\color{proclaim}$ B$\egroup$ . Dann ist

$\bgroup\color{proclaim}$\displaystyle \int_A f + \int_B f = \int_{A\cup B}f + \int_{A\cap B} f. $\egroup$

Beweis. (20.2.3) $\bgroup\color{demo}$ \Rightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ A\cup B$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ A\cap B$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -meßbar; $\bgroup\color{demo}$ f$\egroup$ ist beschränkt auf $\bgroup\color{demo}$ A$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ B$\egroup$ also auf $\bgroup\color{demo}$ A\cup B$\egroup$ . $\bgroup\color{demo}$ \Delta (f)\subseteq\Delta (f\vert _A)\cup \Delta (f\vert _B)\cup \d A\cup \d B$\egroup$ . (20.2.4) $\bgroup\color{demo}$ \Rightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ f$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar auf $\bgroup\color{demo}$ A\cup B$\egroup$ ; (20.2.9) $\bgroup\color{demo}$ \Rightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ f$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ R$\egroup$ -integrierbar auf $\bgroup\color{demo}$ A\cap B$\egroup$ .

Wegen

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle f_A + f_B = f_{A\cup B} + f_{A\cap B} $\egroup$

(Beweis mittels Fallunterscheidung: $\bgroup\color{demo}$ x\in A\cap B$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ x\in A\setminus B$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ x\in B\setminus A$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ x\notin A\cup B$\egroup$ ) ist

$\displaystyle \int_A f + \int_B f$	$\displaystyle = \int_I f_A + \int_I f_B = \int_I (f_A+f_B)$
	$\displaystyle = \int_I (f_{A\cup B}+f_{A\cap B}) =\int_I f_{A\cup B}+ \int_I f_{A\cap B} = \int_{A\cup B} f + \int_{A\cap B} f.{\rm\quad[]}$

20.2.11 Folgerung. Additivität der Fläche/Volumens.
Es seien $\bgroup\color{demo}$ A$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ B\subseteq \mathbb{R}^q$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ J$\egroup$ -meßbar $\bgroup\color{demo}$ \Rightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ \vert A\vert + \vert B\vert = \vert A\cup B\vert + \vert A\cap B\vert$\egroup$ .
$\bgroup\color{demo}$ A\subseteq B$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ \Rightarrow$\egroup$ $\bgroup\color{demo}$ \vert A\vert\leq \vert B\vert$\egroup$ . []

Andreas Kriegl 2002-07-01