20.1 Integration über Intervalle

20.1.1 Definition. Mehrdimensionale Integral.
Es sei $f:\mathbb{R}^p\supseteq I\to\mathbb{R}$ beschränkt, wobei $I$ ein $p$-dimensionales Intervall (ein Rechteck, Quader oder Hyper-Quader) ist, d.h. $I=I_1\times \dots\times I_p$ mit $I_1=[a_1,b_1]$,..., $I_p=[a_p,b_p]$. Unter einer Zerlegung $Z$ von $I$ verstehen wir $Z=Z_1\times \dots\times Z_p$ wobei $Z_j$ eine Zerlegung von $I_j$ in Teilintervalle für $j=1,\dots,p$ ist. Also besteht $Z$ seinerseits aus $p$-dimensionalen Teilintervallen $J=J_1\times \dots\times J_p$ von $I$. Analog zum 1-dimensionalen Fall definieren wir die Obersumme und Untersumme der Funktion $f$ bzgl. der Zerlegung $Z$ als

$$O(f,Z) := \sum_{J\text{ von }Z} \sup(f(J)) \vert J\vert$$

$$U(f, Z) := \sum_{J\text{ von }Z} \inf(f(J)) \vert J\vert$$

wobei $\vert J_1\times \dots J_p\vert:=\vert J_1\vert\times \dots \times \vert J_p\vert$ das Volumen des Hyper-Quaders bezeichnet.

Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar und $\int_I f$ das Riemann-Integral von $f$ (über $I$), falls $\inf\{ O(f,Z):Z\}=\sup\{U(f,Z):Z\}=:\int_I f$, d.h. $\forall \varepsilon >0$ $\exists Z$ mit $O(f,Z)-U(f,Z)<\varepsilon$.

20.1.2 Lebesgue'sche Integrabilitätskriterium.
Eine beschränkte Funktion $f:I\to\mathbb{R}$ auf einen mehrdimensionalen Intervall $I$ ist genau dann $R$-integrierbar, wenn $f$ fast überall stetig auf $I$ ist.

Beweis. $(\Rightarrow)$ $\Delta (f):=\{x:f$ ist unstetig bei $x\}=\bigcup_{r>0}\Delta _r$, wo $\Delta _r:=\{x:\om_f(x)>r\}$ und $\om_f(x):=\inf_{U\ni x} \Omega _f(U)$ mit $\Omega _f(U):=\sup(f(U))-\inf(f(U))$. Es genügt also z.z. , daß $\Delta _r$ eine 0-Menge ist. Es sei $\varepsilon >0$ und $Z$ eine Zerlegung mit $O(Z)-U(Z)<\varepsilon r/2$ nach (20.1.1). Die Vereinigung $H$ all jener Hyperebenen, die durch Teilungspunkte von $Z$ gehen, ist eine Nullmenge. Also genügt es zu zeigen, daß $\Delta _r\setminus H$ eine solche ist. Falls für $I\in Z$ folgendes gilt: $I\cap(\Delta _r\setminus H)\ne\emptyset$, d.h. $\exists\xi \in I^o\cap \Delta _r=(I\setminus H)\cap \Delta _r=I\cap(\Delta _r\setminus H)$, dann existiert eine Umgebung $U$ von $\xi$ mit

$$r\leq \om_f(\xi )\leq \Omega _f(U)\leq \Omega _f(I)=\sup(f(I))-\inf(f(I)).$$

Also ist

$$r \sum_{I\in Z:I^o\cap \Delta _r\ne\emptyset} \vert I\vert \leq \sum_{I\in Z:I^o\cap \Delta _r\ne\emptyset} \Bigl(\sup(f(I))-\inf(f(I))\Bigr) \vert I\vert$$

$$\leq O(Z)-U(Z) < \varepsilon r/2$$

und somit

$$\sum_{I\in Z:I\cap (\Delta _r\setminus H)\ne\emptyset} \vert I\vert \leq \varepsilon /2$$

$\Rightarrow$ $\Delta _r\setminus H$ ist 0-Menge.

$(\Rightarrow)$ $\Delta (f)\subseteq \bigcup_k J_k$ mit $\sum_k \vert J_k\vert<\varepsilon$. $\xi \notin \Delta (f)$ $\Rightarrow$ $\om_f(\xi )=0$, d.h. $\exists U_\xi \ni \xi$ mit $\Omega _f(U_\xi )<\varepsilon$. $\Rightarrow$ $\{J_k:k\in \mathbb{N}\}\cup\{U_\xi :\xi \notin \Delta (f)\}$ ist offene Überdeckung, also existiert eine endliche Teilüberdeckung $\mathcal U$. Sei $Z$ eine Zerlegung mit $I\in Z\Rightarrow I\subseteq J$ für ein $J\in\mathcal U$. Daß das geht, sieht man wie folgt: Wegen der Dreiecksungleichung ist $x\mapsto d(x,\sim U)\}$ stetig und $>0$ auf $U$. Also ist $x\mapsto d(x):=\max\{d(x,\sim U):U\in\mathcal U\}$ stetig und $>0$ überall, und folglich existiert ein $\delta >0$ mit $d(x)>\delta$ für alle $x$, d.h. für jeden Quader $I$ mit Durchmesser $\leq 2\delta$ und Mittelpunkt $x$ ist ein $d(x,\sim U)=d(x)>\delta$ und somit $I\subseteq U$. Dann ist

$$O(Z)-U(Z) = \sum_I \Bigl(\sup(f(I))-\inf(f(I))\Bigr) \vert I\vert = \sum_{I:\exists k:I\subseteq J_k} + \sum_{I:\exists\xi :I\subseteq U_\xi }$$

$$\leq 2\Vert f\Vert _{\infty}\varepsilon + \sum_{I:\exists\xi :I\s... ...rt \leq (2\Vert f\Vert _{\infty}+ \vert\operatorname{dom}(f)\vert) \varepsilon$$

Nach (20.1.1) ist also $f$ $R$-integrierbar.     []

20.1.3 Satz von Fubini.
Es seien $I_1\subseteq \mathbb{R}^{n_1}$ und $I_2\subseteq \mathbb{R}^{n_2}$ zwei kompakte Quader und $f:I_1\times I_2\to \mathbb{R}$ $R$-integrierbar. Weiters sei $\forall x_1\in I_1: x_2\mapsto f(x_1,x_2)$ auf $I_2$ $R$-integrierbar.

Dann ist $x_1\mapsto \int_{I_2} f(x_1,x_2) dx_2$ auf $I_1$ $R$-integrierbar und es gilt:

$$\int_{I_1}\Biggl(\int_{I_2} f(x_1,x_2) dx_2\Biggr) dx_1 = \int_{I_1\times I_2} f(x_1,x_2) d(x_1,x_2).$$

Beweis. Es sei $f_{x_1}:x_2\mapsto f(x_1,x_2)$ und $g(x_1):=\int_{I_2} f(x_1,x_2) dx_2=\int_{I_2} f_{x_1}$. Dann ist $U(f_{x_1},Z_2)\leq g(x_1)\leq O(f_{x_1},Z_2) =\sum_{J_2\in Z_2} \sup f_{x_1}(J_2) \vert J_2\vert$ für jede Zerlegung $Z_2$ von $I_2$. Sei weiters $Z_1$ eine Zerlegung von $I_1$, dann ist

$$O(g,Z_1) = \sum_{J_1\in Z_1} \sup g(J_1) \vert J_1\vert$$

$$\leq \sum_{J_1\in Z_1} \sup\{\sum_{J_2\in Z_2} \sup f_{x_1}(J_2) \vert J_2\vert:x_1\in J_1\} \vert J_1\vert$$

$$\leq \sum_{J_1\in Z_1} \sum_{J_2\in Z_2} \sup f(J_1\times J_2) \vert J_2\vert \vert J_1\vert$$

$$= \sum_{J_1\times J_2\in Z_1\times Z_2} \sup f(J_1\times J_2) \vert J_1\times J_2\vert$$

$$= O(f,Z_1\times Z_2)$$

und analog

$$U(g,Z_1)\geq U(f,Z_1\times Z_2).$$

Da $f$ $R$-integrierbar ist, existiert zu $\varepsilon >0$ eine Zerlegung $Z_1\times Z_2$ mit $\varepsilon >O(f,Z_1\times Z_2)-U(f,Z_1\times Z_2)\geq O(g,Z_1)-U(g,Z_1)$, also ist $g$ integrierbar und

$$\int_{I_1\times I_2} f =\sup_{Z_1\times Z_2} U(f,Z_1\times Z_2) \leq \sup_{Z_1} U(g,Z_1) \leq \int_{I_1} g$$

$$\leq \inf_{Z_1} O(g,Z_1) \leq \inf_{Z_1\times Z_2} O(f,Z_1\times Z_2) =\int_{I_1\times I_2} f,$$

d.h. es besteht Gleichheit.

20.1.4 Folgerung.
Es seien $I_1\subseteq \mathbb{R}^{n_1}$ und $I_2\subseteq \mathbb{R}^{n_2}$ zwei kompakte Quader und $f:I_1\times I_2\to \mathbb{R}$ $R$-integrierbar. Weiters sei $\forall x_1\in I_1: x_2\mapsto f(x_1,x_2)$ auf $I_2$ $R$-integrierbar und $\forall x_2\in I_2: x_1\mapsto f(x_1,x_2)$ auf $I_1$ $R$-integrierbar.

Dann ist

$$\begin{multline*} \int_{I_1}\Biggl(\int_{I_2} f(x_1,x_2) dx_2\Biggr) dx_1 = \... ...I_2}\Biggl(\int_{I_1} f(x_1,x_2) dx_1\Biggr) dx_2.{\rm\quad[]} \end{multline*}$$

20.1.5 Folgerung.
$f:I:=[a_1,b_1]\times \dots\times [a_p,b_p]\to\mathbb{R}$ stetig $\Rightarrow$

$$\int_I f = \int_{a_1}^{b_1}\dots \int_{a_p}^{b_p} f(x_1,\dots,x_p) dx_p \dots dx_1.{\rm\quad[]}$$

Beispiel.
Es sei $f:[0,1]^2\to\mathbb{R}$ gegeben durch

$$f(x,y) := \left\{\begin{array}{ll} \frac... ...operatorname{ggT}(x,y)=1 \\ 0 &\text{andernfalls} \end{array}\right..$$

Dann ist

$$\int_0^1 f(x,y) dx = 0 y\in[0,1]$$

$$\int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dx dy = 0$$

$$\int_0^1 f(x,y) dy = \left\{\begin{array}{ll} 0 &\text{für alle }x\in [0,1]\setminus... ...xt{existiert nicht}&\text{für alle }x\in\mathbb{Q}\cap[0,1]. \end{array}\right.$$

Andererseits ist $f$ $R$-integrierbar, denn $\Delta (f)=(\mathbb{Q}\cap[0,1])\times [0,1]$ ist eine Nullmenge.