14 Eigenwerte und Eigenvektoren

Wir wollen nun ein geometrischeres Verständnis von linearen Abbildungen $A:V\to V$ entwickeln.

14.1 Bemerkung.
Es sei $A\in L(V)$. Wir wollen eruieren, wo $A$ einfach als Streckung wirkt, d.h. jene $x$ bestimmen, für welche $A(v)=\lambda \,v$ für ein $\lambda \in\mathbb{K}$ ist. Das homogene Gleichungssystem $(A-\lambda \,\operatorname{id})(v)=0$ hat genau dann eine nichttriviale Lösung $v$, wenn $p(\lambda ):=\det(\lambda \operatorname{id}-A)=0$ ist. Beachte, daß $p$ ein Polynom vom Grad $\dim(A)$ ist. Es heißt das charakteristische Polynom von $A$. Seine Nullstellen heißen Eigenwerte von $A$, die Menge $\operatorname{Ker}(\lambda \,\operatorname{id}-A)$ der Lösungen $v$ von $(A-\lambda \,\operatorname{id})v=0$ heißt Eigenraum zum Eigenwert $\lambda$, und dessen Elemente $v\ne 0$ heißen Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda$.

14.1a Beispiel.
Wir betrachten die lineare Abbildung $A$ $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ mit Matrizendarstellung

$$\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}.$$

Um ihre Eigenwerte $\lambda \in\mathbb{R}$ und Eigenvektoren $v=(x,y)\in\mathbb{R}^2$ zu bestimmen, müssen das Gleichungssystem

$$\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix... ... x \\ y \end{pmatrix}= \lambda \, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

oder äquivalent

$$\begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 \\ -3 & 4-\lam... ...in{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

lösen. Und zwar ist $\lambda$ genau dann ein Eigenwert, wenn eine Lösung $(x,y)\ne 0$ existiert, d.h. die Matrix

$$\begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 \\ -3 & 4-\lambda \end{pmatrix}$$

nicht invertierbar ist, also ihre Determinante (das charakteristische Polynom von $A$) verschwindet:

$$0=\det\begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 \\ -3 & ... ...da \end{pmatrix}=\lambda ^2-3\lambda +2=(\lambda -1)\cdot(\lambda -2).$$

Somit sind die einzigen beiden Eigenwerte $\lambda =1$ und $\lambda =2$. Zugehörige Eigenvektoren $v=(x,y)$ erhalten wir durch Lösen der Gleichung $A\cdot v=\lambda \,v$, also mittels Gauß durch Umformen von

$$\begin{pmatrix}-1-\lambda & 2 & 0 \\ -3 & 4-\lambda & 0 \end{pmatrix}.$$

Für $\lambda =1$ gibt das

$$\begin{pmatrix}-2 & 2 & 0 \\ -3 & 3 & 0 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

und für $\lambda =2$

$$\begin{pmatrix}-3 & 2 & 0 \\ -3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}1 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Also bilden $b_1:=(1,1)$ und $b_2:=(2,3)$ eine Basis von Eigenvektoren zu den Eigenwerten $1$ und $2$. Die Matrixdarstellung von $A$ bzgl. der Basis $B=\{b_1,b_2\}$ ist somit die Diagonalmatrix

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}= ... ...\ -3 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

14.2 Proposition.
Der höchste Koeffizient des charakteristischen Polynoms $p$ jeder Matrix $A$ ist 1, der konstante Koeffizient ist $(-1)^{\dim V}\det(A)$ und der zweithöchste Koeffizient heißt $-\operatorname{Spur}(A)$. Falls $[A]$ eine Matrizendarstellung von $A$ ist, so ist $\operatorname{Spur}(A)=\operatorname{Spur}([A])=\sum_i a_{i,i}$.

Beweis. Um den Koeffizienten von $\lambda ^{n-1}$ in $\det(\lambda \,\operatorname{id}-A)$ zu bestimmen müssen wir nur jene Permutationen $\pi$ betrachten, die $\pi(i)=i$ mindestens $n-1$ mal lieferen, d.h. $\pi=\operatorname{id}$. Der Koeffient von $\lambda ^{n-1}$ in $\prod_{i=1}^n (\lambda -a_{i,i})$ ist nun aber $\sum_i a_{i,i}$.     []

14.3 Proposition.
Die Eigenwerte $\lambda \in\mathbb{C}$ einer Isometrie erfüllen $\vert\lambda \vert=1$.
Die Eigenwerte einer Spiegelung sind $\pm 1$, die Eigenvektoren zu $+1$ bilden die Fixpunktmenge und der Eigenraum zu $-1$ wird von $v$ erzeugt.

Beweis. $U$ eine Isometrie und $\lambda$ ein Eigenwert mit Eigenvektor $v\ne 0$. Dann ist $\Vert x\Vert=\Vert U(x)\Vert=\Vert\lambda \,x\Vert=\vert\lambda \vert\,\Vert x\Vert$ und somit $\vert\lambda \vert=1$.

Sei eine Spiegelung $x\mapsto x-2\langle x\vert v\rangle v$ an $\{v\}^\perp$ gegeben. Für $\lambda =1$ sind die Eigenwerte genau jene $x$ mit $x-2\langle x\vert v\rangle v=x$, d.h. $x\perp v$. Für $\lambda \ne 1$ sind die Eigenwerte genau jene $x$ mit $x-2\langle x\vert v\rangle v=\lambda \,x$, d.h. $(1-\lambda )\,x=2\langle x\vert v\rangle\,v$ also o.B.d.A. $x=v$ und $(1-\lambda )=2$, d.h. $\lambda =-1$.     []

14.4 Beispiel.
Die Eigenwerte einer Drehung um den Winkel $\varphi$ sind gegeben durch

$$p(\lambda ) = \lambda ^2 -\lambda \operatorname{Spur A} + \det(A) = \lambda ^2 - 2 \lambda \, \cos\varphi + 1,$$

also $\lambda _{\pm}=\cos\varphi \pm\sqrt{\cos^2\varphi -1}=\cos\varphi \pm i\sin\varphi$. Es gibt also nur dann reelle Eigenvektoren, wenn $\varphi \in \mathbb{Z}\,\pi$ liegt, d.h. die Punktspiegelung um 0 beschreibt. Dennoch sind die Vektoren $\binom{\pm i}{1}$ komplexe Eigenvektoren zu den komplexen Eigenwerten $\cos\varphi \pm i\,\sin\varphi$ und $U^{-1}\cdot A\cdot U=\begin{pmatrix}\lambda _+ & 0 \\ 0 & \lambda _- \end{pmatrix}$ bezüglich der invertierbaren Matrix $U=\begin{pmatrix}i & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

14.6 Lemma.
Alle Eigenwerte symmetrischer Matrizen $A\in L_\mathbb{R}(n,n)$ sind reell.

Beweis. Es sei $0\ne x\in\mathbb{C}^n$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$, d.h. $A\cdot x=\lambda \,x$. Dann ist $0=x^t\cdot (A^t-A)\cdot \overline{x}=x^t\cdot A^t\cdot \ove... ...\overline{\lambda \,x} = (\lambda -\overline{\lambda })\,\vert x\vert^2$ und somit $\overline{\lambda }=\lambda$, d.h. $\lambda$ ist reell.     []

14.7 Lemma.
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten $\lambda \ne\mu$ einer symmetrischen Matrix $A\in L_\mathbb{R}(n,n)$ stehen zueinander orthogonal.

Beweis. Es sei $A\,x=\lambda \,x$ und $A\,y=\mu\,y$. Dann ist $\lambda ,\mu\in\mathbb{R}$ und somit

$$(\lambda -\mu)\,\langle x\vert y\rangle = \langle \lambda x\vert y\rangle - \langle x\vert\mu y\rangle = \langle A x\vert y\rangle - \langle x\vert A y\rangle = 0$$

Aus $\lambda \ne\mu$ folgt somit $\langle x\vert y\rangle=0$.     []

14.8 Proposition.
Jede symmetrische $A\in L_\mathbb{R}(n,n)$ besitzt eine orthonormal-Basis von Eigenvektoren $u_1,\dots,u_n$. Es ist somit

$$U^{-1}\cdot A\cdot U=\begin{pmatrix}\lambda _1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _n\end{pmatrix}$$

eine Diagonalmatrix, wobei $U$ die Matrix mit Spalten $u_1,\dots,u_n$ ist.

Beweis. Sei $V$ der von allen Eigenvektoren von $A$ erzeugte Teilraum von $\mathbb{R}^n$. Offensichtlich ist $A(V)\subseteq V$. Sei $V^\perp$ sein orthogonales Komplement $V^\perp:=\{w\in\mathbb{R}^n:w\perp v\forall v\in V\}$. Dann gilt auch $A(V^\perp)\subseteq V^\perp$, denn

$$\langle Aw\vert v\rangle = \langle w\vert A^tv\rangle = \langle w\vert Av\rangle =0$$

Falls $V\ne \mathbb{R}^n$, d.h. $V^\perp\ne\{0\}$, dann ist $A\vert _{V^\perp}$ eine symmetrische Abbildung auf $V^\perp$ besitzt also nach dem oben Gesagten einen Eigenvektor $w\in V^\perp$ zu einen nach (14.6) reellen Eigenwert, ein Widerspruch dazu, daß alle Eigenvektoren von $A$ in $V$ enthalten sind. Wir wählen nun eine Basis von Eigenvektoren. Jene in verschiedenen Eigenräumen stehen nach dem oben gesagten orthogonal aufeinander. Auf die im gleichen Eigenraum liegenden Eigenvektoren wenden wir das Gram-Schmidt'sche Orthonormalisierungsverfahren an und erhalten eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren $u_i$ zu den Eigenwerten $\lambda _i$. Beachte, daß die $\lambda _i$ nicht paarweise verschieden sein müssen. Die Abbildung $U$, welche $e_i$ auf $u_i$ abbildet, ist somit orthogonal. Nun betrachten wir $U^{-1}\o A\o U$ mit $e_i\mapsto u_i\mapsto \lambda _i\,u_i\mapsto \lambda _i\,e_i$, also eine Diagonalmatrix mit Eintragungen $\lambda _i$.     []

14.8a Folgerung.
Es sei $A\in L_\mathbb{R}(n,n)$ invertierbar, dann ist das Bild der Sphäre $S:=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=1\}$ ein Ellipsoid, genau gesagt gibt es eine orthonormal-Basis von Eigenvektoren $v_j$ von $AA^t$ mit zugehörigen Eigenwerten $\lambda _j>0$, s.d.

$$A(S)=\Bigl\{\sum_j y_j\,v_j\in\mathbb{R}^n: \sum_j \frac{(y_j)^2}{\lambda _j}=1\Bigr\}$$

ist.

Beweis. Es ist $A(S):=\{y:A^{-1}(y)\in S\}=\{y:\vert A^{-1}(y)\vert=1\}$. Sei $B:=A^{-1}$, dann ist

$$\vert A^{-1}(y)\vert^2=\langle B(y)\vert B(y)\rangle =\langle y\vert B^t\,B\,y \rangle$$

Da $B^tB$ symmetrisch ist, existiert nach (14.8) eine orthonormal-Basis von Eigenvektoren $v_j$ von $B^tB$ zu Eigenwerten $\mu_j$. Diese sind dann auch Eigenvektoren von $(B^tB)^{-1}=B^{-1}(B^{-1})^t=A\,A^t$ zu den Eigenvektoren $\lambda _j:=\mu_j^{-1}=1/\mu_j$. Somit ist $S(A)$ gegeben durch jene $y=\sum_j y_j\,v_j$ mit

$$1=\Bigl\langle \sum_i y_i\,v_i\Bigm\vert B^t B... ..._j\rangle = \sum_{j} \mu_j\,(y_j)^2=\sum_j \frac{(y_j)^2}{\lambda _j}.$$

Insbesonders ist $0<\vert B(y_j)\vert^2=\langle y_j\vert B(y_j)\rangle =\mu_j\,\vert y_j\vert^2=\mu_j$ und somit auch $\lambda _j>0$.     []

14.9 Bemerkung. Jordan'sche Normalform.
Allgemeine Matrizen $A\in L_\mathbb{C}(n,n)$ lassen sich aber nicht immer durch Konjugation mit einer invertierbaren Matrix auf Diagonalgestalt bringen, wie obige Beispiele zeigen. Dennoch läßt sich zeigen, daß folgendes erreicht werden kann: Es sei $A\in L_\mathbb{C}(n,n)$ und $\lambda _1,\dots,\lambda _n$ die Eigenwerte in ihrer Vielfachheit angeschrieben. Dann existiert ein linearer Isomorphismus $U$ für welchen

$$U^{-1} \cdot A\cdot U = \begin{pmatrix} \lamb... ...\ddots & b_{n-1,n} \\ 0 & \hdots &\hdots & 0 & \lambda _n \end{pmatrix}$$

gilt und die $b_{i,i+1}\in \{0,1\}$ liegen.

Ein erster Schritt um dies zu zeigen ist der

14.10 Satz von Cayley-Hamilton.
Es sei $p:t\mapsto \sum_{k\leq n}p_k t^k$ das charakteristische Polynom von $A$. Dann ist $p(A):=\sum_{k=0}^n p_k A^k=0$.

Beweis. Es sei $C_\lambda :=\lambda \operatorname{id}-A$. Dann ist

$$p(\lambda )\,\operatorname{id}= \det(C_\lambda )\,\operatorname{id}=\operatorname{Adj}(C_\lambda )\,C_\lambda$$

Die Adjungierte $\operatorname{Adj}(C_\lambda )$ ist selbst ein Polynom $\sum_{k<n} C_k\,\lambda ^k$ in $\lambda$ vom Grad $\leq m-1$ mit Koeffizienten $C_k$ im Ring $L_\mathbb{K}(m,m)$. Somit ist

$$\sum_{k\leq m}\lambda ^k\,p_k\,\operatorname{id} = \sum_{k<m} C_k\,\lambda ^k (\lambda \,\operatorname{id}-A)$$

Koeffizientenvergleich liefert:

$$p_m\,\operatorname{id} = C_{m-1}\,\operatorname{id}$$

$$p_{m-1}\,\operatorname{id} = C_{m-2}\,\operatorname{id}- C_{m-1}\,A$$

$$\vdots$$

$$p_1\,\operatorname{id} = C_{0}\,\operatorname{id}- C_{1}\,A$$

$$p_0\,\operatorname{id} = \phantom{C_{0}\,\operatorname{id}}- C_{0}\,A$$

Nun multiplizieren wir die entsprechenden Gleichungen mit $A^k$, summieren sie auf und erhalten:

$$p(A):=\sum_{k=0}^m p_k\,A^k = \sum_k (C_{k-1}\,\operatorname{id}-C_k\,A)\,A^k=0$$

    []

14.11 Bemerkung.
Falls $A$ regulär ist, so ist $\det(A)\ne 0$ und somit $A^{-1}$ aus $0=p(A)=A^n-\operatorname{Spur}(A)\,A^{n-1}+\dots\pm\det(A)$ berechenbar.