5.1.1 Definition. Integral.
Es sei
eine beschränkte Abbildung auf einem kompakten
Intervall
.
Es sei
eine endliche Zerlegung von
in Teilintervalle
.
Als Obersumme von
bzgl. der Zerlegung
bezeichnet man
Weiters sei
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5.1.2 Lemma. Vieles ist integrierbar.
Jede monotone Funktion und jede stetige Funktion ist Riemann-integrierbar.
Man sieht leicht ein, daß monotone Funktionen nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen besitzen können, und davon höchsten abzählbar viele vorhanden sein können.
Beweis. (1) O.B.d.A. sei
(2) Sei nun
stetig, dann ist
gleichmäßig stetig nach (3.3.5),
also existiert zu
ein
mit
für
.
Sei nun
eine äquidistante Zerlegung wie zuvor mit Schrittweite
. Für
ist dann
und somit
.
Also gilt
.
[]
5.1.3 Beispiele integrierbarer Funktionen.
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Dies ist
, denn
, wenn
äquidistant mit hinreichend kleiner
Schrittweite wie im Beweis von (5.1.2) gewählt wird.
Ein Kriterium für die Integrierbarkeit ist folgender Satz, den wir ohne Beweis angeben.
5.1.4 Lebesgue'sches Integrabilitätskriterium.
Eine Funktion
ist genau dann R-integrierbar, wenn sie bschränkt und fast überall
stetig ist, d.h. die Menge der Punkte
in denen sie unstetig ist
eine Lebesgue-Nullmenge ist.
Dabei heißt eine Teilmenge
Z.B. ist jede abzählbare Menge eine Nullmenge, denn sei
und
. Dann ist
und
.
Beweis. (
(
) Nach [Heu80, 79.7] ist
beschränkt.
Wir wissen, daß
ist. Es genügt also zu zeigen, daß
eine Nullmenge ist für jedes
. Sei also
und
eine Zerlegung mit
. Sei
die Menge der Teilintervalle von
welche
treffen. Sei
s.d.
. Dann existiert ein
mit
.
Sei
die Menge aller
mit
.
Dann ist
5.1.5 Folgerung. Operationen auf R-integrierbaren Funktionen.
Es sei
und
R-integrierbar. Dann sind auch
,
,
,
,
und
integrierbar. Ist
integrierbar und
stetig auf
, dann ist auch
integrierbar.
5.1.6 Beispiel nicht integrierbarer Funktionen.
Die Dirichlet'sche Sprungfunktion
ist überall unstetig, also auf
nicht integrierbar.
Hingegen ist die Funktion
welche gegeben ist durch
5.1.7 Lemma. Integrieren ist linear.
Die Riemann-integrierbaren Funktionen auf einen Intervall
bilden einen
Vektorraum
. Integrieren
ist
linear, d.h.
für
und
Riemann-integrierbare Funktionen
.
Insbesonders bedeutet dies, daß wir die (orientierte) Fläche
Beweis. Es ist
5.1.8 Lemma. Operationen für integrierbare Funktionen.
Produkte und beschränkte Quotienten
Riemann-integrierbarer Funktionen sind Riemann-integrierbar.
Ebenso ist Absolutbetrag Riemann-integrierbarer
Funktionen ist Riemann-integrierbar.
Beachte jedoch, daß dies keine Formel zur Berechnung des Integrals eines Produktes aus jenen der Teile liefert.
Beweis. All dies folgt leicht aus dem Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium (5.1.4). []
5.1.9 Lemma. Additivität des Integrals bzgl. der
Grenzen.
Integrieren ist additiv in den Grenzen, d.h.
.
Diese Gleichung gilt vorerst nur für
Beweis. Es seien
5.1.10 Lemma. Monotonie des Integrals.
Integrieren
ist monoton, d.h. aus
(soll
heißen
für
alle
) folgt
.
Insbesonders ist
und somit
, also
Beweis. Aus
5.1.11 Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Es sei
für alle
und
integrierbar.
Dann ist
.
Ist
sogar stetig, dann existiert ein
mit
.
Beweis. Dies folgt aus (5.1.10), da
Für stetiges
liefert der Zwischenwertsatz die Existenz eines
mit
, da die rechte Seite zwischen
und
liegt.
[]
5.1.12 Proposition. Stetigkeit des Integrals.
Es sei
Riemann-integrierbar und
konvergiere
gegen
gleichmäßig. Dann ist auch
Riemann-integrierbar
und es gilt
Beweis. Nach dem Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium (5.1.4) ist
Andreas Kriegl 2003-10-15