4.1 Differenzierbarkeit

Wir wollen nun die Ableitung von Abbildungen $f:E\to F$ zwischen endlich dimensionalen reellen Vektorräumen $E$ und $F$ behandeln. Sei dazu vorerst $E=F=\protect\mathbb{R}$. In den motivierenden Beispielen in (2.1.1) und (2.1.4) war uns bereits die geometrische Idee der Ableitung als Tangente an $f$ in einem Punkt begegnet. Um diese Gerade zu beschreiben benötigen wir neben dem Berührpunkt auch ihren Anstieg. Dieser sollte offensichtlich der Grenzwert der Anstiege von Sehnen benachbarter Punkte sein. Also

4.1.1 Definition. Ableitung von Kurven.
Es sei $f:\protect\mathbb{R}\supseteq I\to \protect\mathbb{R}$ eine Abbildung auf einem Intervall $I$. Die Ableitung von $f$ bei $x_0$ ist dann definiert als

$$f'(x_0) := \lim_{I\ni x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{v\to 0}\frac{f(x_0+v)-f(x_0)}{v}.$$

Man schreibt auch $\frac{df(x)}{dx}$ oder uneindeutiger $\frac{df}{dx}$ für diesen Grenzwert und sagt Differentialquotient dafür. ] $\frac{df}{dx}$Differentialquotient von $f$ ] $f'$Ableitung von $f$Falls dieser Grenzwert existiert, so heißt $f$ differenzierbar an der Stelle $x_0$. Damit dieser Grenzwert existiert muß, da der Nenner gegen 0 geht, auch der Zähler gegen 0 gehen also $f$ stetig bei $x_0$ sein Falls $f$ in allen Punkten $x_0\in I$ differenzierbar ist, so heißt $f$ differenzierbar und die Abbildung $f':I\to\protect\mathbb{R}$, $x_0\mapsto f'(x_0)$ heißt dann Ableitung von $f$.

Die Tangente an eine im Punkte $x_0$ differenzierbare Abbildung $f$ ist nun der affine 1-dimensionale Teilraum $\{(x,y)\in\protect\mathbb{R}^2:y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\}\subseteq \protect\mathbb{R}^2$.

Für $f:\protect\mathbb{R}\supseteq I \to\protect\mathbb{R}^q$ macht obige Definition von $f'(x_0)$ ebenfalls Sinn. Allerdings ist $f(x)-f(x_0)\in\protect\mathbb{R}^q$, $x-x_0\in\protect\mathbb{R}$ und somit $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ und $f'(x_0)$ in $\protect\mathbb{R}^q$. Die Tangente ist dann entsprechend der affine 1-dimensionale Teilraum $\{(x,y):y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\}$ von $\protect\mathbb{R}\times \protect\mathbb{R}^q$.

4.1.2 Bemerkung. Ableiten durch Zoomen.
Die Tangente einer Kurve können wir wie folgt beschreiben: Sie ist jene Gerade, die, wenn man zu jedem $\varepsilon >0$ den Teil der Kurve auf $\{x:x_0-\varepsilon \leq x\leq x_0+\varepsilon \}$ so affin skaliert, daß daraus das Intervall $[-1,1]$ wird, dann der Abstand ( ${\infty}$-Norm) zur Geraden gegen 0 geht für $\varepsilon \to 0$.

In der Tat sei O.B.d.A. $x_0=0$ und $y_0:=f(x_0)=0$. Sei weiters $g:x\mapsto k\,x$ eine Gerade durch 0. Die mit $1/\varepsilon$ gezoomte Funktion ist

$$f_\varepsilon :x\mapsto \varepsilon \,x\mapsto f(\varepsilon \,x)\mapsto \frac{f(\varepsilon \,x)}{\varepsilon }$$

und entsprechend $g_\varepsilon (x)=\frac{g(\varepsilon \,x)}{\varepsilon }=g(x)$, da $g$ homogen ist. Der Abstand von $f_\varepsilon$ zu $g_\varepsilon$ auf dem Intervall $[-1,1]$ ist somit

$$\Vert (f_\varepsilon -g_\varepsilon )\vert _{[-\varepsilon ,\varepsilon ]}\Vert _{\infty} = \sup\left\{\vert f_\varepsilon (x)-g_\varepsilon (x)\vert:-1\leq x\leq 1\right\}$$

$$= \sup\left\{\Bigl\vert\frac{f(\varepsilon \,x)}{\varepsilon }-k\,x\Bigr\vert:-1\leq x\leq 1\right\}$$

$$= \sup\left\{\Bigl\vert\Bigl(\frac{f(x_0+\varepsilon \,x)-f(x_0)}{\varepsilon \,x}-k\Bigr)x\Bigr\vert:-1\leq x\leq 1\right\}$$

und dieses Supremum geht genau dann gegen 0 für $\varepsilon \to 0$, wenn

$$k=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

gilt, also $g$ die Tangente an $f$ im Punkte $x_0$ ist.

4.1.3 Beispiele differenzierbarer Funktionen.

(1)

Es sei $f:\protect\mathbb{R}\to\protect\mathbb{R}^q$ konstant.
Dann ist $f$ differenzierbar und $f'(x_0)=\lim_{v\to 0}\frac{0}{v}=0$.

(2)

Sei nun $f:=\operatorname{id}:\protect\mathbb{R}\to\protect\mathbb{R}$.
Dann ist $f$ differenzierbar und $f'(x_0)=\lim_{v\to 0}\frac{v}{v}=1$.

(3)

Sei schließlich $f:\protect\mathbb{R}\to\protect\mathbb{R}^q$ eine Gerade gegeben durch $f(x):=x\,a+b$ mit $a,b\in\protect\mathbb{R}^q$.
Dann ist $f$ differenzierbar und $f'(x_0)=\lim_{v\to 0}\frac{a\,v+b-b}{v}=a$ und somit stimmt die Tangente mit der Gerade überein.

(4)

Sei $f(x):=\vert x\vert$, dann ist $f$ nicht differenzierbar bei 0, denn

$$\lim_{v\to0+}\frac{f(x+v)-f(x)}{v}=+1$$ aber $$\lim_{v\to0-}\frac{f(x+v)-f(x)}{v}=-1.$$

(5)

Es sei $f(x):=\frac1x$. Dann ist $f'(x)=-\frac1{x^2}$ für $x\ne 0$ wie eine direkte Berechnung des Differentialquotienten $\frac{df(x)}{dx}$ zeigt.

(6)

Sei $f(x):=\sin(x)$. Dann ist $f$ differenzierbar bei 0 mit Ableitung $1$, denn durch Flächenvergleich (siehe (3.1.8)) erhalten wir $\sin(t)\leq t\leq \tan(t)$ für $t>0$ und somit $\cos(t)\leq \frac{\sin(t)}{t}\leq 1$ und $\lim_{t\to 0}\cos(t)=1$. Weiters ist $f$ differenzierbar bei jedem $x\in\protect\mathbb{R}$ mit Ableitung $\sin'(x)=\cos(x)$, denn

$$\frac{\sin(x+v)-\sin(x)}{v}= \frac{\cos(x+v/2)\sin(v/2)}{v/2}\to \cos(x)\,1.$$

Bemerkung.
Gewisse Eigenschaften der Funktion $f:\protect\mathbb{R}\supseteq I\to \protect\mathbb{R}$ lassen sich in Eigenschaften der Ableitung $f'$ übersetzen. Ist z.B.  $f$ monoton wachsend, d.h.  $f(x)\leq f(y)$ für $x\leq y$, so ist der Differenzenquotient $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geq 0$ ] $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$Differenzenquotient der Funktion $f$ für alle $x\ne y$ und somit auch $f'(x)=\lim_{y\to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geq 0$. Um die Umkehrung zu zeigen benötigen wir folgende Resultate:

4.1.4 Satz von Rolle.
Es sei $f:[a,b]\to\protect\mathbb{R}$ stetig sowie auf $(a,b)$ differenzierbar und $f(a)=f(b)$. Dann existiert ein $\xi \in(a,b)$ mit $f'(\xi )=0$.

Beweis. Falls $f$ konstant ist, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls nimmt $f$ sein Minimum an einer Stelle $\xi _1\in[a,b]$ an und sein Maximum an einer Stelle $\xi _2\in[a,b]$. Wegen $\xi _1\ne\xi _2$ liegt mindestens eines der beiden $\xi$ im Inneren $(a,b)$ des Intervalls $[a,b]$ und für dieses gilt $f'(\xi )=0$, denn aus $f(x)\geq f(\xi )$ für alle $x$ folgt $f'(\xi )=\lim_{t\to 0+}\frac{f(x)-x(\xi )}{x-\xi }\geq 0$ und ebenso $f'(\xi )=\lim_{t\to 0-}\frac{f(x)-x(\xi )}{x-\xi }\leq 0$, und ähnlich für $f(x)\leq f(\xi )$.     []

4.1.5 Mittelwertsatz.
Es sei $f,g:[a,b]\to\protect\mathbb{R}$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar. Dann existiert ein $\xi \in(a,b)$ mit

$$(f(b)-f(a))\,g'(\xi ) = (g(b)-g(a))\,f'(\xi ),$$

oder einprägsamer

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi )}{g'(\xi )},$$

falls $g'(x)\ne 0$ für alle $x\in (a,b)$.

Ist speziell $g=\operatorname{id}$ so besagt diese Gleichung folgendes:

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi ).$$

Beweis. Wir erhalten das Resultat direkt, wenn wir den Satz von Rolle auf $h(x):=(f(b)-f(a))\,g(x)-(g(b)-g(a))\,f(x)$ anwenden.     []

4.1.6 Folgerung. Monotonie via Ableitung.
Es sei $f:[a,b]\to\protect\mathbb{R}$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar. Dann ist $f$ genau dann monoton wachsend, wenn $f'(x)\geq 0$ für alle $x\in (a,b)$. Ebenso ist $f$ genau dann monoton fallend, wenn $f'(x)\leq 0$ für alle $x\in (a,b)$.

Beweis. Aus $f(x)\leq f(y)$ für alle $x\leq y$ folgt $f'(x)=\lim_{y\to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geq 0$.

Umgekehrt folgt aus dem $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(\xi )\geq 0$, daß $f$ monoton wachsend ist.     []