2.5 Unendliche Reihen

2.5.1 Definition. Konvergenz von Reihen.
Unter einer Reihe verstehen wir einen Ausdruck der Form $\sum_k a_k$. ] $\sum_k a_k$unendliche Reihe der Glieder $a_k$Ein Reihe heißt konvergent gegen $s_{\infty}$, wenn die Folge $s_n$ der Partialsummen $s_n:=\sum_{k=0}^n a_k$ gegen $s_{\infty}$ konvergiert. Man schreibt dann auch $\sum_{k=0}^{\infty}a_k$ für diesen Grenzwert $s_{\infty}$. ] $\sum_{k=0}^{\infty}a_k$Summe der Reihe

2.5.2 Definition. Uneigentliche Konvergenz von Reihen.
Wie für Folgen können wir auch bei Reihen von der uneigentlichen Konvergenz gegen $+{\infty}$ oder $-{\infty}$ sprechen.

2.5.3 Bemerkung. Reihen versus Folgen.
Jede Reihe $\sum_k a_k$ wird also durch die Folge ihrer Partialsummen $s_n:=\sum_{k\leq n}a_k$ beschrieben. Umgekehrt definiert jede Folge $s_n$ eine Reihe $\sum_k a_k$ durch $a_n:=s_n-s_{n-1}$ wobei wir $s_{-1}:=0$ gesetzt haben, deren Partialsummen gerade die gegebene Folge $s_n$ sind.

Reihen $\sum_k a_k$ sind also nur eine andere Schreibweise für Folgen $s_n$, wobei man die Betonung auf den Zuwachs $a_n=s_n-s_{n-1}$ von einem Folgenglied auf das nächste legt.

Beachte, daß es für die Konvergenzbetrachtung keine Rolle spielt, ob wir die Partialsummen als $s_n:=\sum_{k=0}^n a_k$ oder für ein fixes $K$ als $s_n':=\sum_{k=K}^{K+n}$ definieren, denn $s_{n+K}=s'_n+\Delta$, wobei $\Delta =\sum_{k=0}^{K-1}a_k$. Für die entsprechenden Grenzwerte gilt offensichtlich

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_k =\lim_{n\to{\infty}}s_n=\lim_{m\to{\infty}}s_{m+K}$$

$$=\lim_{m\to{\infty}}s'_m+\Delta =\Delta +\lim_{n\to{\infty}}s'_n=:\Delta +\sum_{k=K}^{\infty}a_k$$

$$=\sum_{k=0}^{K-1}a_k+\sum_{k=K}^{\infty}a_k.$$

2.5.4 Lemma. Geometrische Reihe.
Es konvergiert die geometrische Reihe $\sum_k q^k$ genau dann, wenn $\vert q\vert<1$. Ihr Grenzwert ist $\frac1{1-q}$.

Beweis. Wegen der Summenformel ist $\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ für $q\ne 1$ und somit genau dann konvergent, wenn $\vert q\vert<1$. Im Fall $q=1$ ist $\sum_{k=0}^n q^k=n+1$ divergent.     []

2.5.5 Beispiel. Exponentialreihe und Euler'sche Zahl $e$.
Die Reihe $\sum_k \frac1{k!}$ ist konvergent. Offensichtlich ist die Folge der Partialsummen $s_n:=\sum_{k=0}^n \frac1{k!}$ monoton wachsend. Sie ist aber auch nach oben beschränkt, denn (siehe (2.5.9))

$$s_n\leq 1+\sum_{k=1}^n \frac1{k!}\leq 1 +\sum_{k=1}^n\frac1{2^{k-1}}\leq 1+\frac1{1-1/2}=3.$$

Ihre Summe $\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}=:e$ wir auch Euler'sche Zahl genannt. ] $e$Euler'sche Zahl Die Begründung für den Namen Exponentialreihe liefern wir in (4.2.4) nach. Es gilt auch $e=\lim_{n\to{\infty}}(1+\frac1n)^n$:
In der Tat ist $b_n:=(1+\frac1n)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac1{n^k} \leq \sum_{k=0}^n \frac1{k!}=s_n$. Weiters ist $n\mapsto (1+\frac1n)^n$ monoton wachsend, denn $(1+\frac1{n+1})^{n+1}/(1+\frac1n)^n=(\frac{(n+2)n}{(n+1)^2})^n\frac{n+2}{n+1}>1$. Also existiert $\lim_{n\to{\infty}} (1+\frac1n)^n\leq e$.

Weiters ist für $m\geq n$

$$b_m = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k}\frac1{m^k} =\sum_{k=0}^m \prod_{j=1}^{k}(m-j+1)\frac1{k!m^k}$$

$$=\sum_{k=0}^m \frac1{k!} \prod_{j=1}^{k}(1-\frac{j-1}{m}) \geq \sum_{k=0}^n\frac1{k!} \prod_{j=1}^{k}(1-\frac{j-1}{m})=:b_{m,n}$$

mit

$$\lim_{m\to{\infty}}b_{m,n}= \sum_{k=0}^n\frac1{k!} \prod_{j=1}^{k}1=s_n,$$

Also $\lim_m b_m\geq s_n$ für alle $m$ und damit $\lim_{m\to{\infty}}b_m\geq e$ und schlußendlich $\lim_{m\to{\infty}}b_m=e$.

2.5.6 Lemma. Cauchy-Kriterium für Reihen.
Eine Reihe $\sum_k a_k$ konvergiert genau dann, wenn für

$$\forall \varepsilon >0 \exists N\forall n\geq N\forall q: \Bigl\vert\sum_{k=n}^{n+q} a_k\Bigr\vert < \varepsilon$$

Vgl. dies mit (2.4.6) für Folgen.

Beweis. Nach Definition ist $\sum_k a_k$ genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen $s_n:=\sum_{k=0}^n a_k$ konvergiert, oder äquivalent eine Cauchy-Folge ist, d.h.

$$\forall\varepsilon >0\exists N\forall n\geq N\... ...n+{q+1}}-s_n\vert =\Bigl\vert\sum_{k=0}^q a_{n+k}\Bigr\vert{\rm\quad[]}$$

2.5.7 Definition. Absolute Konvergenz.
Eine Reihe $\sum_k a_k$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe $\sum_k \vert a_k\vert$ ihrer absolut-Beträge konvergiert. Da die Partialsummen von $\sum_k \vert a_k\vert$ monoton wachsend ist dies nach der Proposition (2.3.9) über monotone Konvergenz genau dann der Fall, wenn (die Folge der Partialsummen) von $\sum_k \vert a_k\vert$ beschränkt ist.

Beachte, daß der Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz nur im Unterschied zwischen $\left\vert\sum_{k=n}^{n+p} a_k\right\vert$ und $\sum_{k=n}^{n+p} \vert a_k\vert$ liegt.

2.5.8 Lemma. Absolute- impliziert Konvergenz.
Es sei $\sum_k a_k$ absolut konvergent. Dann ist $\sum_k a_k$ auch konvergent.

Beweis. Die Cauchy-Bedingung ist wegen $\vert\sum_{k=n}^{n+p}a_k\vert\leq \sum_{k=n}^{n+p}\vert a_k\vert$ erfüllt.     []

Nun können wir die wichtigsten Methoden zur Konvergenzbestimmung von Reihen behandeln.

2.5.9 Proposition. Vergleichstest.
Es seien $\sum_k a_k$ und $\sum_k b_k$ zwei Reihen mit $0\leq a_k\leq b_k$ für (fast alle) $k$

$\bullet$

Falls $\sum_k b_k$ absolut konvergiert so auch $\sum_k a_k$.

$\bullet$

Falls $\sum_k a_k$ divergiert, so auch $\sum_k b_k$.

Man sagt in dieser Situation, daß $\sum_k a_k$ eine Minorante von $\sum_k b_k$ und umgekehrt $\sum_k b_k$ eine Majorante von $\sum_k a_k$ ist.

Beweis. Es ist $0<\sum_{k=n}^{n+p} a_k\leq \sum_{k=n}^{n+p}b_k\to 0$.     []

2.5.10 Proposition. Wurzeltest.
Falls $(a_n)_n$ beschränkt ist und $\varlimsup_n \root{n}\of{\vert a_n\vert}<1$ ist, d.h. ein $q<1$ existiert mit $\root{n}\of{\vert a_n\vert}\leq q$ für fast alle $n$, so ist $\sum_k a_k$ absolut konvergent.
Ist $\root{n}\of{\vert a_n\vert}\geq 1$ für unendlich viele $n$, so ist die Reihe divergent.

Beweis. Aus $\root{n}\of{\vert a_n\vert}\leq q$ folgt, daß $\sum_k q^k$ eine nach (2.5.4) (konvergente) Majorante von $\sum_k \vert a_k\vert$ ist, also letztere Reihe nach dem Vergleichstest (2.5.9) konvergiert.

Ist $\root{n}\of{\vert a_n\vert}\geq 1$ unendlich oft, so konvergiert $a_n$ nicht gegen 0, also ist $\sum_n a_n$ nicht konvergent.     []

2.5.11 Proposition. Quotiententest.
Falls $(a_n)_n$ beschränkt ist und $\varlimsup_n \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert<1$ ist, d.h. ein $q<1$ existiert mit $\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\vert\leq q$ für fast alle $n$, so ist $\sum_k a_k$ absolut konvergent.

Ist jedoch fast immer $\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\vert\geq 1$ so ist die Reihe divergent.

Beweis. Es ist

$$\left\vert\frac{a_{n+p}}{a_{n}}\right\vert =\prod_{j=1}^{p}\left\vert\frac{a_{n+j}}{a_{n+j-1}}\right\vert\leq q^p$$

also $\frac{\vert a_n\vert}{q^n}\sum_k q^k$ eine Majorante für $\sum_k \vert a_k\vert$.

Andererseits folgt aus $\vert a_{n+1}\vert\geq \vert a_n\vert$, daß $a_n$ keine Nullfolge sein kann.     []

2.5.12 Proposition. Leibniz-Test.
Es sei $n\mapsto a_n\geq 0$ monoton fallend. Dann ist $\sum_k (-1)^ka_k$ genau dann konvergent, wenn $\lim_k a_k=0$ ist.

Beweis. Es ist $\sum_k b_k$ nur dann konvergent, wenn $b_k\to 0$.

Umgekehrt erhalten wir

$$(-1)^n\,\sum_{j=n}^{n+k}(-1)^j a_j = \oversetbrace{\geq 0}\to{(a_{n+1}-a_{n+2})} +\oversetbrace{\geq 0}\to{(a_{n+3}-\dots)}+\dots+(-1)^ka_{n+k}$$

$$= a_{n+1} -\undersetbrace{\geq 0}\to{(a_{n+2}-a_{n+3})}\dots \leq a_{n+1}\to 0. {\rm\quad[]}$$

2.5.13 Cauchy'scher Verdichtungssatz.
Es sei $(a_n)$ monoton fallend und nicht negativ. Dann ist $\sum_n a_n$ genau dann konvergent, wenn $\sum_n 2^n a_{2^n}$ es ist.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Es ist

$$\sum_{k=1}^{\infty}a_k \geq \sum_{k=1}^{2^n} a_k = a_1+\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=2^{j-1}+1}^{2^j} a_k$$

$$\geq \frac12\,a_1 + \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=2^{j-1}+1}^{2^j} a_{2^j} = \sum_{j=0}^n 2^{j-1}\,a_{2^j} = \frac12 \sum_{j=0}^n 2^j\,a_{2^j}.$$

( $\Leftarrow$) Für $m+1\leq 2^{n+1}$ ist

$$\sum_{k=1}^m a_k \leq \sum_{k=0}^{2^{n+1}-1} a_k = \sum_{j=0}^n \sum_{k=2^j}^{2^{j+1}-1} a_k$$

$$\leq \sum_{j=0}^n \sum_{k=2^j}^{2^{j+1}-1} a_{2^j} = \sum_{j=0}^n 2^j\, a_{2^j} \leq \sum_{j=0}^{\infty}2^j\,a_{2^j}. {\rm\quad[]}$$

2.5.14 Beispiele.

1. Die geometrische Reihe $\sum_k (1/2^{a-1})^k=\sum_k 2^k\,(1/2^k)^a$ konvergiert genau dann, wenn $1/2^{a-1}<1$ ist, d.h. $a>1$ ist. Nach (2.5.13) konvergiert somit $\sum_k \frac1{k^a}$ ebenfalls genau dann.
2. Ebenso folgt für die Reihe $\sum_k \frac1{k\,(\operatorname{ln}k)^a}$, daß sie genau dann konvergiert, wenn $\sum_k \frac{2^k}{2^k(\operatorname{ln}(2^k))^a}=\frac1{(\operatorname{ln}(2))^a}\sum_k \frac1{k^a}$ dies tut, also für $a>1$.

2.5.15 Test von Raabe.
Falls ein $\beta >1$ existiert, s.d. $\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert\leq 1-\frac{\beta }n$ für fast alle $n$ ist, so konvergiert die Reihe $\sum_k a_k$ absolut.

Ist hingegen $\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1-\frac1n$ für fast alle $n$, so divergiert $\sum_k a_k$.

Beweis. Es sei $\alpha _n:=\vert a_n\vert$. Dann ist $\alpha _{n+1}/\alpha _n\leq 1-\beta /n$, also $0<(\beta -1)\alpha _n\leq n(\alpha _n-\alpha _{n+1})-\alpha _n=(n-1)\alpha _n-n\alpha _{n+1}=:b_n$. Folglich ist $n\mapsto (n-1)\alpha _n$ monoton fallend und nach unten durch 0 beschränkt also konvergent. Folglich ist die Teleskopreihe $\sum_n b_n$ ebenfalls konvergent und wegen $(\beta -1)\alpha _n\leq b_n$ auch die Reihe $(\beta -1)\sum_n\alpha _n$, d.h. $\sum_n a_n$ ist absolut konvergent.

Aus $\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1-\frac1n$ folgt, daß das Vorzeichen von $a_n$ schließlich konstant, also o.B.d.A. $+1$ ist und somit $na_{n+1}\geq (n-1)a_n$ gilt. Folglich existiert ein $N$ mit $na_{n+1}\geq (N-1)a_{N}=:\alpha >0$ für alle $n\geq N$. Also ist $a_{n+1}\geq \frac{\alpha }{n}$ und da die harmonische Reihe divergiert folgt aus dem Majorantentest, daß $\sum_a a_n$ divergiert.     []

2.5.16 Beispiele.
In den Anfängen der Analysis hatten die Mathematiker unbekümmert Reihen umgeordnet. Das Beispiel

$$\sum_k (-1)^k=1-1+1-1+\dots=(1-1)+(1-1)+\dots\ne 1+(-1+1)+(-1+1)+\dots$$

zeigt, daß hier Vorsicht angebracht ist.

Ein noch raffinierteres Beispiel ist das folgende: Es sei

$$s=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+1}=\sum_{... ...\infty}\frac{(-1)^{k-1}}k=(1-\frac12)+(\frac13-\frac14)+\geq \frac12>0.$$

Dann ist $\frac{s}2=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k}=\sum_{k=1}^{\infty}b_k$, wobei $b_{2k}:=\frac{(-1)^{k-1}}{2k}$ und $b_{2k-1}:=0$ sei. Die Reihe $\sum_k a_k+b_k$ hat also als Summe $s+\frac{s}2=\frac{3s}2$. Diese Reihe ist aber

$$\left(\tfrac{1}1+0\right) +\left(\tfrac{-1}2+\tfrac{1}{2}\right) +\left(\tfrac{1}3+0\right)... ...ht) +\left(\tfrac{1}5+0\right) + \left(\tfrac{-1}6+\tfrac{1}{6}\right) + \dots=$$

$$=1 + 0 + \frac13 + \frac{-1}{2} + \frac1{5} + 0 + \dots,$$

eine Umordnung der ursprünglichen Reihe mit Summe $s$.

$$\bgroup\color{demo} \begin{array}{ccrrrrrrr} s & = & \frac11 ... ...rac13 & -\frac12 & \frac15 & +0 & \hdots \\ \end{array}\egroup$$

2.5.17 Definition. Unbedingte Konvergenz.
Eine Reihe $\sum_k a_k$ heißt unbedingt konvergent, wenn jede ihrer Umordnungen $\sum_k a_{\pi(k)}$ konvergiert (und zwar immer gegen den selben Grenzwert). Dabei wird eine Umordnung durch eine bijektive Abbildung $\pi:\protect\mathbb{N}\to\protect\mathbb{N}$ beschrieben.

2.5.18 Riemann'scher Umordnungssatz.
Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn sie unbedingt konvergiert.

Beweis. Sei zuerst $\sum_n a_n$ absolut konvergent mit Partialsummen $s_n$. Es sei $\sum_k a_{n_k}$ ein Umordnung mit Partialsummen $s'_k$. Wegen dem Cauchy-Kriterium existiert zu $\varepsilon >0$ ein $N$ mit $\sum_{n=N}^{\infty}\vert a_n\vert\leq\varepsilon$. Nun wählen wir ein $K$ mit $n_k\geq N$ für alle $k\geq K$. Dann ist $\sum_{k=K}^{K+n}\vert a_{n_k}\vert\leq\sum_{n=N}^{\infty}\vert a_n\vert\leq \varepsilon$, also ist die umgeordnete Reihe nach dem Cauchy-Kriterium absolut konvergent.
Wir zeigen mehr noch: Die umgeordnete Reihe besitzt die gleiche Summe $s:=\sum_{k=0}^{\infty}a_k$. Für $m\geq K$ ist

$$\sum_{k=0}^m a_{n_k}-\sum_{n=0}^m a_n=\sum_{n\geq N} \delta _n a_n$$

mit $\delta _n\in\{-1,0,+1\}$. Also gilt für die Partialsummen

$$\vert s'_m-s_m\vert\leq \sum_{n\geq N} \vert a_n\vert <\varepsilon$$

und somit konvergiert $s'_m$ und $s_m$ gegen den gleichen Grenzwert $s$.

Umgekehrt sei nun $\sum_k a_k$ zwar konvergent aber nicht absolut konvergent (und o.B.d.A. $a_k\ne 0$ für alle $k$). Wir zerlegen $a_k=a_k^+-a_k^-$ mit $a_k^\pm:=\max\{\pm a_k,0\}\geq 0$. Dann ist $\vert a_k\vert:=a_k^++a_k^-$. Beide Reihen $\sum_k a_k^\pm$ müssen gegen $+{\infty}$ divergieren, denn sonst wäre auch die andere konvergent. Mit $\sum_k p_k$ und $\sum_k q_k$ bezeichnen wir die Reihen die daraus durch Streichen aller 0-er entstehen. Wir wählen nun rekursive Indizes $n_0,n_1,\dots$ mit

$$S <\sum_{k=0}^{n_0} p_k$$

$$S >\sum_{k=0}^{n_0} p_k + \sum_{k=0}^{n_1}-q_k$$

$$S <\sum_{k=0}^{n_2} p_k + \sum_{k=0}^{n_1}-q_k$$

$$S >\sum_{k=0}^{n_2} p_k + \sum_{k=0}^{n_3}-q_k$$

$$\vdots$$

Dann entsteht eine Umordnung der ursprünglichen Reihe, die gegen $S$ konvergiert.     []

Mit absolut konvergenten Reihen kann man recht ungestraft rechnen, wie folgende Resultate zeigen.

2.5.19 Lemma. Rechnen mit absolut konvergenten Reihen.
Falls $\sum_k a_k$ und $\sum_k b_k$ absolut konvergieren, so auch $\sum_k (a_k+\lambda \, b_k)$. Ist $\sum_k a_k$ absolut konvergent und $k\mapsto b_k$ beschränkt, so ist auch $\sum_k a_k\,b_k$ absolut konvergent.

Der 2.Teil stimmt nicht für konvergente Reihen wie das Beispiel $\sum_k (-1)^k\frac1k$ und $(-1)^k$ zeigt.

Beweis. Der 1.Teil folgt sofort aus $\sum_{k\leq n}\vert a_k+\lambda \,b_k\vert\leq\sum_{k\leq n}\vert a_k\vert+\lambda \,\sum_{k\leq n}\vert b_k\vert$.

Der 2.Teil mittels (2.3.9) aus $\sum_{k\leq n}\vert a_k\,b_k\vert\leq \max\{\vert b_k\vert:... ...vert\leq \sup\{\vert a_k\vert:k\}\cdot \sum_{k=0}^{\infty}\vert a_k\vert$.     []

2.5.20 Proposition. Konvergenz von Doppelreihen.
Es seien $\sum_k a_k$ und $\sum_k b_k$ absolut konvergent. Sei $(p_0,p_1,\dots)$ eine Anordnung der Produkte $(a_jb_k)_{j,k\in\protect\mathbb{N}}$. Dann konvergiert $\sum_j p_j$ absolut und zwar gegen gegen $\Bigl(\sum_{j=0}^{\infty}a_j\Bigr)\cdot\Bigl(\sum_{k=0}^{\infty}b_k\Bigr)$.

Beweis. Wegen $\sum_{(j,k)\leq (n,m)} a_j\,b_k=\sum_{j\leq n} a_j\sum_{k\leq m}b_k\to \sum_{j=0}^{\infty}a_j\sum_{k=0}^{\infty}b_k$ konvergiert die spezielle Anordnung der Produkte in stufenweise wachsenden Quadraten gegen die behauptete Größe. Für jede Anordnung ist

$$\sum_{j=1}^n \vert p_j\vert\leq \sum_{j\leq m}... ...{\infty}\vert a_j\vert\cdot \sum_{j=0}^{\infty}\vert b_j\vert <{\infty}$$

für hinreichend groß gewähltes $m$ in Abhängigkeit von $n$, also absolut konvergent, und somit unabhängig von der Anordnung gegen $\sum_{j=0}^{\infty}a_j\sum_{k=0}^{\infty}b_k$ konvergent.     []

2.5.21 Folgerung. Cauchy-Produkt.
Sind die Reihen $\sum_n a_n$ und $\sum_n b_n$ absolut konvergent so auch das Cauchy-Produkt $\sum_n \Bigl(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\Bigr)$.    []

2.5.22 Bemerkung.
Wir wollen nun Reihen der Form $\sum_k a_k\,b_k$ untersuchen, also solche die aus den komponentenweisen Produkt zweier Reihen entstehen.

2.5.23 Abel'sche partielle Summation.
Es sei $A_k:=\sum_{j<k}a_j$. Dann ist

$$\sum_{k=0}^{n-1} a_k\,b_k = A_n\,b_n + \sum_{k=0}^n A_k\,(b_{k-1}-b_k).$$

Beweis. Es ist $a_k=A_{k+1}-A_k$ und somit

$$\sum_{k<n} a_k\,b_k = \sum_{k<n} (A_{k+1}-A_k)\,b_k = \sum_{k<n} A_{k+1}\,b_k - \sum_{k<n} A_k\,b_k$$

$$= \sum_{k\leq n} A_k\,b_{k-1} - \sum_{k<n} A_k\,b_k = \sum_{k\leq n} A_k\,(b_{k-1} - b_k) + A_n\,b_n{\rm\quad[]}$$

2.5.24 Folgerung. Konvergenz von $\sum_k a_k\,b_k$.
Ist sowohl die Folge $A_n\,b_n$ also auch die Reihe $\sum_{k=0}^n A_k\,(b_{k-1}-b_k)$ konvergent, so auch die Reihe $\sum_k a_k\,b_k$.    []

2.5.25 Dirichlet'sche Test.
Es sei $A_n$ beschränkt und $b_n$ konvergiere monoton gegen 0. Dann ist $\sum_k a_k\,b_k$ konvergent.

Beweis. Da $A_n$ beschränkt ist und $b_n\to 0$ konvergiert, gilt gleiches auch für $A_n\,b_n$ und die Teleskopreihe $\sum_k (b_{k-1}-b_k)$ konvergiert (absolut). Somit konvergiert auch $\sum_k A_k(b_{k-1}-b_k)$ absolut. Das Resultat folgt nun mittels (2.5.24).     []

2.5.26 Abel'sche Test.
Es sei $\sum_k a_k$ konvergent und $(b_k)$ monoton und beschränkt. Dann konvergiert $\sum_k a_k\,b_k$.

Beweis. Nach Voraussetzung sind $(A_k)$ und $(b_k)$ konvergent, also auch $(A_k\,b_k)$. Weiters ist die Teleskopreihe $\sum_k (b_{k-1}-b_k)$ (absolut) konvergent und da $A_k$ beschränkt ist auch $\sum_k A_k(b_{k-1}-b_k)$ (absolut) konvergent. Das Resultat folgt nun mittels (2.5.24).     []

Auch für Produkte können wir unendliche Versionen behandeln. Diese spielen aber keine so entscheidende Rolle.

2.5.27 Definition. Konvergente Produkte.
Eine Produkt $\prod_k a_k$ heißt konvergent, wenn die Folge der Partialprodukte $n\mapsto \prod_{k=0}^n a_k$ konvergiert.

2.5.28 Bemerkung. Dezimalbruchentwicklung.
Es sei $b=10$ und eine Folge $(z_k)_{k=1}^{\infty}$ von natürlichen Zahlen $0\leq z_k<b$ vorgegeben. Dann ist die Reihe $\sum_{k\geq 1}\frac{z_k}{b^k}$ monoton wachsend und wegen

$$\sum_{k=1}^n \frac{z_k}{b^k}\leq \sum_{k=1}^n\... ...um_{k\geq 0}^{\infty}\left(\frac1b\right)^k =(b-1)\,b\,\frac1{1-1/b}=1,$$

existiert die Summe $0\leq \zeta:=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z_k}{b^k}\leq 1$.

Sei nun umgekehrt $0<\zeta \leq 1$. Dann existiert ein $z_1\in\{0,\dots,b-1\}$ mit $\frac{z_1}{b^1}<\zeta \leq\frac{z_1+1}{b^1}$. Somit ist $0<\zeta \,b-z_1\leq 1$ und es existiert analog ein $z_2\in\{0,\dots,b-1\}$ mit $\frac{z_2}{b^1}<\zeta \,b-z_1\leq \frac{z_1+1}{b^1}$. also

$$\frac{z_1}{b^1}+\frac{z_2}{b^2}<\zeta \leq\frac{z_1}{b^1}+\frac{z_2+1}{b^2}$$

Mittels Rekursion erhalten wir $z_k\in\{0,\dots,b-1\}$ mit

$$\frac{z_1}{b^1}+\dots+\frac{z_k}{b^k}<\zeta \leq\frac{z_1}{b^1}+\dots+\frac{z_k}{b^k}+\frac1{b^{k}}.$$

Die linke Seite ist in $k$ monoton wachsend, die rechte monoton fallend und der Abstand $\frac1{b^k}$ konvergiert gegen 0. Also konvergieren beide Seiten gegen $\zeta$ und man spricht von einer Intervallschachtelung. Beachte, daß die Folge $z_k$ nicht schließlich 0 sein kann, da die linke Seite immer echt kleiner als $\zeta$ gewählt wurde. Reelle Zahlen werden also auf diese Weise durch nicht abbrechende Dezimalbrüche dargestellt. Insbesonders erhalten wir für $1/2$ den Dezimalbruch $0.499999\dots$ und nicht $0.50000\dots$.

Für $\zeta >0$ existiert ein $z_0\in\protect\mathbb{N}$ mit $z_0<\zeta \leq z_0+1$ und somit ist $\zeta -z_0$ in einen Dezimalbruch $0.z_1z_2\dots$ entwickelbar und wir schreiben $\zeta =z_0,z_1z_2\dots$.

Die Darstellung ist eindeutig, denn wenn $\zeta:=z_0,z_1z_2\dots=w_0,w_1w_2\dots$ zwei verschiedene Darstellungen in nicht-abbrechende Dezimalbrüche sind, so sei $n\geq 0$ minimal gewählt mit $z_k\ne w_k$. Es ist $n>0$ da $z_0=w_0$ und o.B.d.A. $z_k+1\leq w_k$. Dann ist $\zeta \leq \sum_{j=1}^k \frac{z_j}{b^j}+\frac1{b^k}\leq\sum_{j=1}^k \frac{w_j}{b^j}<\zeta$, ein Widerspruch.

Für negative Zahlen $\zeta$ entwickelt man $-\zeta$ in einen Dezimalbruch $-ze=z_0,z_1z_2\dots$ und schreibt $\zeta =-z_0,z_2z_2\dots$.

Die Zahl 0 können wir allerdings auf diese Weise nur durch den abbrechenden Dezimalbruch $0=0,00\dots$ darstellen.

Beachte die Schwierigkeiten die wir haben wenn wir die Grundrechnungsarten über die Dezimalbruchentwicklung einführen müßten.