2.2 Metriken

Um die Fehler, die wir beim Approximieren machen abschätzen zu können, müssen wir die Distanz zwischen wahren und approximierten Objekt messen. Wir fassen die wesentlichen Eigenschaften der Distanzfunktion nun zusammen, um unabhängiger davon zu werden, welche Objekte wir vergleichen, wie z.B. reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Punkte oder Kurven in der Ebene oder im Raum, etc. .

2.2.1 Definition. Metrik.
Die Abstands- oder auch Distanzfunktion $d:(x,y)\mapsto d(x,y):=\vert x-y\vert=\sqrt{\sum_k \vert x_k-y_k\vert^2}$, $d:\protect\mathbb{R}^p\times \protect\mathbb{R}^p\to\protect\mathbb{R}$ oder $d:\protect\mathbb{C}^p\times \protect\mathbb{C}^p\to\protect\mathbb{R}$ hat folgende Eigenschaften

(d0)

(Positiv) Definitheit: $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$

(d1)

Symmetrie: $d(x,y)=d(y,x)$

(d2)

Dreiecksungleichung: $d(x,z)\leq d(x,y)+ d(y,z)$

Allgemeine heißt eine Abbildung $d:X\times X\to\protect\mathbb{R}$ eine Metrik auf einer Menge $X$, falls die Eigenschaften (d0), (d1) und (d2) erfüllt sind. Eine Menge $X$ zusammen mit einer Metrik $d$ heißt metrischer Raum. Beachte, daß jede Metrik $d(x,y)\geq 0$ erfüllt, denn $0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$.

Warum betrachtet man verschiedene Metriken? Man denke z.B. an das Problem den Abstand zwischen Personen zu beschreiben. Das erste was einen dabei in den Sinn kommt ist wohl die räumliche Distanz (allerdings ist nicht mehr klar von welchen Bezugspunkt aus gemessen). Aber man kann z.B. auch an Distanz im Stammbaum denken, also die minimale Anzahl von Schritten die nötig sind um im Stammbaum von einer zur anderen Person zu gelangen. Eine weitere Möglichkeit wäre die genetische Distanz, d.h. die Anzahl der Nukleoidpaare die in den DNS-Sequenzen verschieden sind (da haben wir allerdings mit eineiigen Zwillingen und mit Klonen Probleme)

2.2.2 Beispiele von Metriken.

$\bullet$

Die euklidische Metrik: Sei $X\subseteq \protect\mathbb{C}^n$. Dann ist

$$d(x,y):=\vert x-y\vert:=\sqrt{\sum_{i=1}^n\vert x_i-y_i\vert^2}$$

eine Metrik auf $X$ wegen der Dreiecksungleichung (2.2.4) für Längen von Vektoren.

$\bullet$

Die Taxi-Metrik: $d(x,y):=\sum_k\vert x_k-y_k\vert$ ist ebenfalls eine Metrik auf $X\subseteq \protect\mathbb{C}^n$.

$\bullet$

Die Maximums-Metrik: $d(x,y):=\max\{\vert x_k-y_k\vert:1\leq k\leq n\}$ ist auch eine Metrik auf $X$.

$\bullet$

Die Supremums-Metrik: $d(x,y):=\sup\{\vert x(t)-y(t):t\in T\}$ ist eine Metrik auf der Menge der Funktionen $x:T\to\protect\mathbb{R}$, welche beschränkt sind, d.h. $d(x,0)<{\infty}$ erfüllen.

$\bullet$

Die Hamming-Metrik: Es sei $X$ die Menge der endlichen Folgen von Elementen einer Menge $A$ und sei $d(x,y)$ die Anzahl der Stellen an welchen sich $x=(x_1,\dots,x_n)$ von $y=(y_1,\dots,y_m)$ unterscheidet.

2.2.3 Cauchy-Schwarz Ungleichung.

$$\sum_{k=1}^n \vert a_k\cdot b_k\vert \leq \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}\cdot \sqrt{\sum_{k=1}^n b_k^2}$$    für $$a_k,b_k\in\protect\mathbb{R}.$$

Beweis. O.B.d.A. ist $A:=\sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}>0$ und $B:=\sqrt{\sum_{k=1}^n b_k^2}>0$. Wir setzen $\alpha _k:=\frac{a_k}{A}$ und $\beta _k:=\frac{b_k}{B}$. Dann ist

$$\sum_k \alpha _k\,\beta _k = \sum_k\sqrt{\alph... ...frac12\sum_k \alpha _k^2 + \frac12\sum_k \beta _k^2 =\frac12+\frac12=1,$$

wegen der Ungleichung $\sqrt{\alpha \beta }\leq \frac{\alpha +\beta }2$ zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel.     []

2.2.4 Minkowski Ungleichung.

$$\sqrt{\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)^2}\leq \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}+\sqrt{\sum_{k=1}^n b_k^2}.$$

Beweis. O.B.d.A. sei $\sum_k(a_k+b_k)^2>0$. Es ist nach (2.2.3)

$$\sum_k(a_k+b_k)^2 =\sum_k(a_k+b_k)a_k+\sum_k(a_k+b_k)b_k$$

$$\leq \sum_k\vert a_k+b_k\vert\,\vert a_k\vert+\sum_k \vert a_k+b_k\vert\,\vert b_k\vert$$

$$\leq \sqrt{\sum_k(a_k+b_k)^2}\cdot (\sqrt{\sum_k a_k^2}+\sqrt{\sum_k b_k^2})$$

und Division durch $\sqrt{\sum_k(a_k+b_k)^2}$ liefert das gewünschte Resultat.     []

2.2.5 Definition. Bälle.
Es sei $d$ eine Metrik auf einer Menge $X$, $x_0\in X$ und $r>0$. Dann heißt die Menge $U_r(x_0):=\{x\in X:d(x,x_0)<r\}$ der offene Ball um $x_0$ mit Radius $r$ oder auch $r$-Umgebung. ] $U_r(x_0)$ $r$-Umgebung, offene Ball um $x_0$ mit Radius $r$ Ebenso heißt die Menge $B_r(x_0):=\{x\in X:d(x,x_0)\leq r\}$ der abgeschlossene Ball um $x_0$ mit Radius $r$. ] $B_r(x_0)$abgeschlossene Ball um $x_0$ mit Radius $r$ In obigen Beispielen mit $n=3$ sind dies

$\bullet$

Eine Kugel

$\bullet$

Ein Oktaeder

$\bullet$

Ein Würfel

Wenn wir die Euklidische Metrik auf $\protect\mathbb{R}$ verwenden, d.h. $d(x,y):=\vert x-y\vert$, dann sind die Bälle um $x_0\in\protect\mathbb{R}$ mit Radius $r>0$ durch

$$U_r(x_0) :=\{x\in\protect\mathbb{R}:\vert x-x_0\vert<r\}$$

$$=\{x\in\protect\mathbb{R}:x-x_0<r,-(x-x_0)<r\}=\{x\in\protect\mathbb{R}:x_0-r<x<x_0+r\}$$

$$B_r(x_0) :=\{x\in\protect\mathbb{R}:\vert x-x_0\vert\leq r\}$$

$$=\{x\in\protect\mathbb{R}:x-x_0\leq r,-(x-x_0)\leq r\}=\{x\in\protect\mathbb{R}:x_0-r\leq x\leq x_0+r\}$$

gegeben. Dies führt zu folgender

2.2.6 Definition. Intervalle.
Unter einen Intervall $I\subseteq \protect\mathbb{R}$ versteht man eine nicht-leere Teilmenge die mit je zwei Elementen $a,b\in I$ auch alle dazwischenliegenden enthält. ] $I$zumeist ein IntervallJedes Intervall $I$ ist also von der Form $I=\{x\in\protect\mathbb{R}:\alpha <x<\beta \}=:(\alpha ,\beta )$ oder $I=\{x\in\protect\mathbb{R}:\alpha \leq x<\beta \}=:[\alpha ,\beta )$ oder $I=\{x\in\protect\mathbb{R}:\alpha <x\leq \beta \}=:(\alpha ,\beta ]$ oder $I=\{x\in\protect\mathbb{R}:\alpha \leq x\leq\beta \}=[\alpha ,\beta ]$, wobei $\alpha :=\inf(I)\in \protect\mathbb{R}\cup\{-{\infty}\}$ und $\beta :=\sup(I)\in\protect\mathbb{R}\cup\{+{\infty}\}$, ] $[\alpha ,\beta ]$abgeschlossenes Intervall ] $[\alpha ,\beta )$rechts-offenes Intervall ] $(\alpha ,\beta ]$links-offenes Intervall ] $(\alpha ,\beta )$offenes Intervall denn einerseits ist $(\alpha ,\beta )\subseteq I$, denn aus $\alpha =\inf(I)<x<\sup(I)=\beta$ folgt die Existenz von $a,b\in I$ mit $\alpha \leq a\leq x\leq b\leq\beta$ und somit liegt $x\in I$; umgekehrt ist $I\subseteq [\alpha ,\beta ]$, denn für alle $x\in I$ gilt $\alpha =\inf(I)\leq x\leq\sup(I)=\beta$.

2.2.7 Lemma. Charakterisierung von Intervallen.
Eine mindestens 2-elementige Teilmenge $I\subseteq \protect\mathbb{R}$ ist genau dann ein Intervall, wenn jeder Dedekind'sche-Schnitt von $I$ eine Teilungszahl in $I$ besitzt.

Beweis. Sei $I$ ein Intervall und $(A,B)$ ein Dedekind'scher Schnitt von $I$. Sei $A':=\{x\in \protect\mathbb{R}:\exists a\in A:x\leq a\}$ und $B':=\{x\in\protect\mathbb{R}:\exists b\in B:x\geq b\}$. Dann ist $(A',B')$ ein Dedekind'scher Schnitt von $\protect\mathbb{R}$ und besitzt somit eine Teilungszahl $t\in\protect\mathbb{R}$. Für $a\in A\subseteq I$ und $b\in B\subseteq I$ ist $a\leq t\leq b$, also auch $t\in I$, da $I$ ein Intervall ist.

Sei umgekehrt $I$ eine Teilmenge von $\protect\mathbb{R}$, für die jeder Dedekind'sche Schnitt eine Teilungszahl besitzt. Sei $\alpha :=\inf(I)\in \protect\mathbb{R}\cup\{-{\infty}\}$ und $\beta :=\sup(I)\in\protect\mathbb{R}\cup\{+{\infty}\}$. Dann ist $I\subseteq [\alpha ,\beta ]$. Sei $\alpha <t<\beta$ und $A:=\{x\in \protect\mathbb{R}:x<t\}$ und $B:=\{x\in \protect\mathbb{R}:x\geq t\}$. Dann ist $(A,B)$ ein Dedekind'scher Schnitt von $\protect\mathbb{R}$ und auch von $I$ und $t$ ist seine Teilungszahl und somit nach Voraussetzung in $I$, d.h. das offene Intervall $(\alpha ,\beta )\subseteq I$, und somit $I$ ein Intervall.     []

2.2.8 Definition. Beschränktheit.
Eine Teilmenge $M\subseteq X$ eines metrischen Raumes heißt beschränkt, wenn ihr Durchmesser $d(M):=\sup\{d(x,y):x,y\in M\}$ endlich ist. ] $d(M)$Durchmesser der Menge $M$ Dies ist genau dann der Fall, wenn sie in einem Ball mit hinreichend großen Radius enthalten ist, denn:
( $\Leftarrow$) $M\subseteq B_r(x_0)$ $\Rightarrow$ $\forall x,y\in M$: $d(x,y)\leq d(x,x_0)+d(x_0,y)\leq 2r$ $\Rightarrow$ $d(M)\leq 2r$.

( $\Rightarrow$) Es sei $d(M)<{\infty}$ und $x_0\in M$, dann ist $M\subseteq B_{d(M)}(x_0)$, denn für $x\in M$ ist $d(x,x_0)\leq d(M)$.