Lösung für Aufgabe 6.5.9
Weisen Sie die obigen drei Identitäten nach.Seien $z=x+iy$, $z_1=x_1+iy_1$ und $z_2=x_2+iy_2$.
- $\ol{\ol{z}}=\ol{x-iy}=\ol{x+i(-y)}=x+iy=z$.
- \begin{eqnarray*} \ol{z_1+z_2}&=&\ol{x_1+iy_1+x_2+iy_2}=\ol{(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)}\\ &=&(x_1+x_2)-i(y_1+y_2)=x_1-iy_1+x_2-iy_2=\ol{z_1}+\ol{z_2}. \end{eqnarray*}
- \begin{eqnarray*} \ol{z_1z_2}&=&\ol{x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)}=x_1x_2-y_1y_2-i(x_1y_2+x_2y_1)\\ &=&x_1x_2-(-y_1)(-y_2)+i(x_1(-y_2)+x_2(-y_1))=(x_1-iy_1)(x_2-iy_2)= \ol{z_1}\,\ol{z_2}\\ \end{eqnarray*}