Lösung für Aufgabe 6.4.16
Zeigen Sie für $a,b\in\R$ die Cauchy–Ungleichung \[ |ab|\leq\frac{a^2+b^2}{2}.\]Hinweis: Verwenden Sie die bekannten Formeln für $(a\pm b)^2$ und Proposition 6.3.2(v), also die Tatsache, dass Quadrate nichtnegativ sind.
Wir haben $$ 0 \leq (a\pm b)^2 = a^2 + b^2 \pm 2ab, $$ und daraus folgt $$ -\;\frac{a^2+b^2}2 \leq ab \leq \frac{a^2+b^2}2. $$ Aufgabe 6.4.15.(ii) impliziert schließlich die geforderte Ungleichung.