Lösung für Aufgabe 6.4.13
Beweisen Sie, dass $|x|=|{-x}|$ und $|x-y|=|y-x|$ für $x,y\in\R$ gelten.Wir beweisen $|x|=|{-x}|$ durch Fallunterscheidung. Für $x=0$ ist das offensichtlich. Sei $x > 0$. Dann ist $-x < 0$, und wegen der Definition von $|\quad|$ folgt $|x|=x=-(-x)=|-x|$. Ist schließlich $x < 0$, dann ist $-x > 0$, und $|x|=-x=|-x|$. Setzen wir in $|x|=|{-x}|$ für $x$ den Ausdruck $x-y$ ein, so erhalten wir $|x-y|=|-(x-y)|=|y-x|$.