Lösung für Aufgabe 6.3.7
Beweisen Sie, dass $\sqrt3$ irrational ist.Angenommen, $\sqrt3$ ist rational. Dann gibt es teilerfremde natürliche Zahlen $m$ und $n$ mit $\sqrt3=\frac mn$. Wir multiplizieren mit $n$ und quadrieren beide Seiten. Dann erhalten wir $3n^2=m^2$. Aus dieser Gleichung folgt, dass $3|m^2$. Wegen des Fundamentalsatzes der Arithmetik folgt, dass jede Primzahl $p$ in der Primfaktorenzerlegung von $m^2$ zweimal vorkommt ($m=\prod_{i=1}^M p_i$, also ist $m^2=\prod_{i=1}^N p_i^2$). Wenn $3$ also in der Primfaktorenzerlegung von $m^2$ vorkommt, dann muss es auch in der Primfaktorenzerlegung von $m$ vorkommen, also gilt $3|m$. Somit existiert ein $k\in\N$ mit $3k=m$, also $9k^2=m^2$. Deshalb gilt $3n^2=9k^2$, somit $n^2=3k^2$, woraus $3|n^2$ folgt, also auch $3|n$. Wir haben damit $3|m$ und $3|n$ bewiesen, ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von $m$ und $n$.