Lösung für Aufgabe 6.2.1
Wir definieren auf
b)+(a
b)(ab)
(ab):=(a+ab+b):=(aa+2bbab+ba)
+)Wir führen zwei Beweise, um das Thema besser zu beleuchten.
Wir weisen zuerst alle Eigenschaften eines Integritätsbereiches nach.
Zunächst zeigen wir, dass (\Z^2,+) eine abelsche Gruppe ist.
- Assoziativgesetz: Dies gilt, weil die Addition komponentenweise
definiert ist:
\begin{eqnarray*} ((a,b)+(a',b'))+(a'',b'')&=&(a+a',b+b')+(a'',b'')=((a+a')+a'',(b+b')+b'')\\ &=&(a+(a'+a''),b+(b'+b''))=(a,b)+(a'+a'',b'+b'')=(a,b)+((a',b')+(a'',b'')) \end{eqnarray*}
- Kommutativgesetz: Auch das gilt wegen der komponentenweisen Definition:
(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')+(a'+a,b'+b)=(a',b')+(a,b)
- Nullelement: Das Nullelement ist (0,0):
(0,0)+(a,b)=(0+a,0+b)=(a,b)
- Inverse: Das Inverse des Elements (a,b) ist das Element (-a,-b):#
(a,b)+(-a,-b)=(a+(-a),b+(-b))=(0,0)
- Assoziativgesetz: Dies rechnen wir wie folgt nach:
\begin{eqnarray*} ((a,b)\cdot(a',b'))\cdot(a'',b'')&=&(aa'+2bb',ab'+ba')\cdot(a'',b'')=\\ &=&((aa'+2bb')a''+2(ab'+a'b)b'',(aa'+2bb')b''+(ab'+ba')a'')\\ &=&(aa'a''+2bb'a''+2ab'b''+2ba'b'',aa'b''+ab'a''+ba'a''+2bb'b'')\\ &=&(a(a'a''+2b'b'')+2b(b'a''+a'b''),a(a'b''+b'a'')+b(a'a''+2b'b''))\\ &=&(a,b)\cdot(a'a''+2b'b'',a'b''+b'a'')=(a,b)\cdot((a',b')\cdot(a'',b'')) \end{eqnarray*}
- Kommutativgesetz: Das ist leichter nachzurechnen:
(a,b)\cdot(a',b')=(aa'+2bb',ab'+ba')=(a'a+2b'b,a'b+b'a)=(a',b')\cdot(a,b)
- Einselement: Das Einselement ist (1,0):
(1,0)+(a,b)=(1\cdot a+2\cdot0\cdot b,1\cdot b+0\cdot a)=(a,b)
Weil wir schon die Kommutativität der Multiplikation gezeigt haben, müssen wir nur noch ein Distributivgesetz nachweisen:
Wenn a=0 gilt, dann folgt (2bb',ba')=(0,0), und da b\neq 0 sein muss folgt aus 2bb'=0 sofort b'=0, weil \Z ein Integritätsbereich ist. Außerdem impliziert ba'=0, dass a'=0 ist, insgesamt also (a',b')=(0,0), ein Widerspruch. Somit ist a\neq 0, und aus Symmetrie folgt auch a'\neq 0.
Seien a,b,a',b' so gewählt, dass unter allen Paaren von Nullteilern |a|+|a'|+|b|+|b'| minimal ist. Wegen -aa'=2bb' gilt, dass aa' gerade ist, also a oder a' gerade ist. Sei o.B.d.A. a gerade. Wegen -ab'=ba' gilt, dass ba' gerade, also b oder a' gerade ist. Ist b gerade, dann wäre (\tfrac a2,\tfrac b2)\cdot(a',b')=0 ein "kleineres Paar Nullteiler", ein Widerspruch. Daher ist a' gerade und b ist ungerade. Nun ist -aa' als Produkt zweier gerader Zahlen durch 4 teilbar, und daher muss auch 2bb' durch 4 teilbar sein. Weil aber b ungerade ist, muss b' gerade sein. Daraus folgt aber dann, dass (a,b)\cdot(\tfrac{a'}2,\tfrac{b'}2) ein "kleineres Paar Nullteiler" ist, ein Widerspruch. Daher existiert kein minimales Paar Nullteiler, also existiert wegen der Wohlordnung von \N gar kein Nullteiler, also ist (\Z^2,+,\cdot) ein Integritätsbereich.
Soweit zur direkten Rechnung und zum direkten Beweis. Eine Abkürzung durch all das bietet folgendes Argument: \Z^2\subseteq\Q^2, und die Rechenoperationen auf \Z^2 sind genauso definiert wie die Rechenoperationen auf \Q^2 in Beispiel 5.4.5. Es ist trivial zu zeigen, dass (\Z^2,+,\cdot) ein Unterring des Körpers (\Q^2,\oplus,\otimes) aus 5.4.5 ist. Als solcher muss er ein Integritätsbereich sein. (Jeder Unterring R eines Körpers K ist ein Integritätsbereich. Jeder Nullteiler in R wäre auch Nullteiler in K, aber Körper sind nullteilerfrei.)