Lösung für Aufgabe 5.3.81 (Erweiterungsstoff)
Betrachten Sie die Ringe $\Z[i]$ und $M_{2}(\Z)$ aus den Aufgaben 5.3.23 und 5.3.24 und die Abbildung $\ph:\Z[i]\to M_{2}(\Z)$ mit $$ \ph(a+ib) := \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}. $$ Zeigen Sie, dass $\ph$ ein Ringhomomorphismus ist. Ist $\ph$ eine Einbettung?Wir berechnen \begin{eqnarray*} \ph((a+ib)+(a'+ib')) &=& \ph((a+a)+i(b+b')) = \begin{pmatrix} a+a' & b+b' \\ -(b+b') & a+a' \end{pmatrix} \\&=& \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix} \\&=& \ph(a+ib)+\ph(a'+ib') \end{eqnarray*} und \begin{eqnarray*} \ph((a+ib)(a'+ib')) &=& \ph((aa'-bb')+i(ab'+a'b)) = \begin{pmatrix} aa'-bb' & ab'+a'b \\ -(ab'+a'b) & aa'-bb' \end{pmatrix} \\&=& \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix} \\&=& \ph(a+ib)\ph(a'+ib'). \end{eqnarray*} Das zeigt, dass $\ph$ ein Ringhomomorphismus ist. Dieser ist sogar bijektiv mit Umkehrabbildung $\ph\inv: M_{2}(\Z)\to\Z[i]$ und $$ \ph\inv : \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\mapsto a+ib. $$ Daher ist $\ph$ ein Ringisomorphismus (auch eine Einbettung), und die beiden Ringe $\Z[i]$ und $M_{2}(\Z)$ sind isomorph.