Lösung für Aufgabe 5.3.80
Ist die Quotientenabbildung (siehe Beispiel ) $\ph:\Z\to\Z_{2}$ mit $$ \ph(z) := \begin{cases} \bar 0 & z\in\Z_{g} \\ \bar 1 & \text{sonst} \end{cases} $$ ein Ringhomomorphismus von $\Z$ auf $\Z_{2}$?Ja. Seien $z,z'\in\Z$. Wir betrachten folgende vier Fälle:
- $z,z'$ gerade: $z+z'$ und $zz'$ sind beide gerade, also gelten $\ph(z+z')=\bar0=\bar0+\bar0=\ph(z)+\ph(z')$, $\ph(zz')=\bar0=\bar0\cdot\bar0=\ph(z)\ph(z')$.
- $z$ gerade, $z'$ ungerade: $z+z'$ ist ungerade und $zz'$ ist gerade, also gelten $\ph(z+z')=\bar1=\bar0+\bar1=\ph(z)+\ph(z')$, $\ph(zz')=\bar0=\bar0\cdot\bar1=\ph(z)\ph(z')$.
- $z$ ungerade, $z'$ gerade: $z+z'$ ist ungerade und $zz'$ ist gerade, also gelten $\ph(z+z')=\bar1=\bar1+\bar0=\ph(z)+\ph(z')$, $\ph(zz')=\bar0=\bar1\cdot\bar0=\ph(z)\ph(z')$.
- $z,z'$ ungerade: $z+z'$ ist gerade und $zz'$ ist ungerade, also gelten $\ph(z+z')=\bar0=\bar1+\bar1=\ph(z)+\ph(z')$, $\ph(zz')=1=\bar1\cdot\bar1=\ph(z)\ph(z')$.