Lösung für Aufgabe 5.3.44 (Erweiterungsstoff)
Zeigen Sie, dass $(\Z[i],+,\cdot)$ aus Aufgabe 5.3.24 ein Integritätsbereich ist.Angenommen, dass $0=(a+ib)(a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b)$ gilt. Dann folgt \begin{eqnarray*} aa'-bb' &=& 0 \\ ab'+a'b &=& 0 \end{eqnarray*} Wir versuchen zuerst die Gleichungen in $\R$ zu lösen:
Sei zunächst $a\neq 0$. Dann folgt aus der ersten Gleichung, dass $a'=\frac1abb'$. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, so erhalten wir $$ ab'+\frac1ab^2b' = b'(a+\frac1ab^2) = 0, $$ also entweder $b'=0$, woraus $a'=\frac1ab0 = 0$, also $a'+ib'=0$ folgt, oder $$ a+\frac1ab^2 = 0, $$ was nach Multiplikation mit $a$ die Gleichung $a^2+b^2=0$, also $a=b=0$ und $a+ib=0$ impliziert. Gilt andererseits $a=0$, so folgt sogleich aus der ersten Gleichung $bb'=0$. Bei $b=0$ ist $a+ib=0$, und aus $b'=0$ würde mit der zweiten Gleichung $a'b=0$ gelten. Der Fall $a'=0$ implizierte $a'+ib'=0$ und der Fall $b=0$ hätte $a+ib=0$ zur Konsequenz. Nachdem in allen möglichen Fällen aus $0=(a+ib)(a'+ib')$ folgt, dass $a+ib=0$ oder $a'+ib'=0$ gilt, haben wir bewiesen, dass $\Z[i]$ nullteilerfrei, also ein Integritätsbereich ist. Nachdem wir in Kapitel 5.4 den Begriff des Körpers eingeführt haben werden, werden wir in Kapitel 6.4 beweisen, dass $\C$ ein Körper ist. Als solcher ist $\C$ nullteilerfrei, und damit jeder Unterring von $\C$, also auch $\Z[i]$, ein alternativer und kürzerer Beweis.