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Lösung für Aufgabe 5.3.43

Weisen Sie nach, dass der Ring der reellen Polynome $(\R[x],+,\cdot)$ ein Integritätsbereich ist.

Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 5.3.15.


Seien $p,q\in\R[x]$ beide ungleich $0$. Dann gilt für die Koeffizienten $d_j$ des Polynoms $pq$, dass $$ d_j = \sum_{i=\max(0,j-m)}^{\min(j,n)}a_ib_{j-i}. $$ Betrachten wir den Koeffizienten $d_{m+n}$ (beachte $m,n\geq 0$!). Dann gilt $d_{m+n} = a_nb_m$, und $a_n\neq 0$ und $b_m\neq 0$ weil sie jeweils die Koeffizienten des Monoms höchsten Grades von $p$ bzw. $q$ sind. Weil $\R$ nullteilerfrei ist, folgt $d_{m+n}\neq 0$, und daher ist $pq\neq 0$.