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Lösung für Aufgabe 5.3.24 (Erweiterungsstoff)

Weisen Sie nach, dass die ganzen komplexen Zahlen, auch Gaußsche Zahlen genannt, $$ \Z[i] := \{a+ib\mid a,b\in\Z\} $$ einen Teilring der komplexen Zahlen $\C$ bilden.


Wir berechnen die Differenz zweier Gaußscher Zahlen $$ a+ib-(a'+ib') = a-a'+i(b-b') $$ und das Produkt $$ (a+ib)(a'+ib') = aa'-bb'+i(ab'+a'b) $$ und sehen, dass die Ergebnisse jeweils wieder Gaußsche Zahlen sind, weil Summen, Differenzen und Produkte ganzer Zahlen wieder ganze Zahlen sind. Daher folgt aus Proposition 5.3.20, dass $\Z[i]$ ein Unterring von $\C$ ist.