Lösung für Aufgabe 5.3.23
Wir betrachten die $2\x 2$–Matrizen mit ganzzahligen Einträgen, $(M_{2}(\Z),+,\cdot)$ mit den von $(M_{2}(\R),+,\cdot)$ ererbten Operationen. Ist $M_{2}(\Z)$ ein Unterring von $M_{2}(\R)$?Die beiden Verknüpfungen \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22} \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22} \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*} ergeben für $a_{ij},b_{ij}\in\Z$, $i,j=1,2$ offensichtlich wieder Matrizen mit ganzzahligen Einträgen, da Summen, Differenzen und Produkte ganzer Zahlen wieder ganzzahlig sind. Aus Proposition 5.3.20 folgt also, dass $(M_2(\Z),+,\cdot)$ ein Unterring von $(M_2(\R),+,\cdot)$ ist.