Lösung für Aufgabe 5.3.15
Für die beiden Polynome $p,q\in\R[x]$ \begin{align*} p(x) &= \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \\ q(x) &= \sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j} \end{align*} bestimmen Sie die Koeffizienten von $p+q$ und $pq$. Danach zeigen Sie nur unter Zuhilfenahme der berechneten Formeln, dass $\R[x]$ ein kommutativer Ring mit Einselement ist.Seien \begin{eqnarray*} p+q &=& \sum_{j=0}^{\ell} c_jx^j \\ pq &=& \sum_{j=0}^{m+n} d_jx^j. \end{eqnarray*} mit $\ell=\inf\{i\in\Z\mid c_i\neq 0\wedge 0\geq i\leq\max(m,n)\}$, wobei $\ell=-\infty$, falls die Menge in der Definition von $\ell$ leer ist, und \begin{eqnarray*} c_j &=& \begin{cases} a_j+b_j & 0 \leq j \leq \min(m,n) \\ a_j & \min(m,n) < j \leq n \\ b_j & \min(m,n) < j \leq m \end{cases}\\ d_j &=& \sum_{i=\max(0,j-m)}^{\min(j,n)}a_ib_{j-i}. \end{eqnarray*}
- Kommutativgesetz ($+$): Die Formel für $c_j$ ist offensichtlich symmetrisch in $(a_j,n)$ und $(b_j,m)$. Daher ist die Addition kommutativ.
- Assoziativgesetz ($+$): Sei ein drittes Polynom $r=\sum_{i=0}^k h_ix^i$ gegeben. Addieren wir alle drei Polynome $(p+q)+r$, so erhalten wir ein Polynom $\sum_{j=0}^{\max(n,m,k)}f_jx^j$ mit Koeffizienten (bestimmt durch Fallunterscheidung) $$ f_j = \begin{cases} a_j+b_j+h_j & 0\leq j\leq \min(m,n,k)\\ a_j+b_j & \min(m,n,k) < j\leq \min(m,n)\\ a_j+h_j & \min(m,n,k) < j\leq \min(n,k)\\ b_j+h_j & \min(m,n,k) < j\leq \min(m,k)\\ a_j & \min(n,\max(m,k)) < j\leq n\\ b_j & \min(m,\max(n,k)) < j\leq m\\ h_j & \min(k,\max(n,m)) < j\leq n. \end{cases} $$ Diese Koeffizienten sind offensichtlich symmetrisch in $(a_j,n)$, $(b_j,m)$ und $(h_j,k)$, also ist die Verknüpfung assoziativ.
- Nullelement ($+$): $0=\sum_{j=0}^{-\infty}0x^j$ ist das Nullelement, weil $$ c_j = \begin{cases} a_j+b_j & 0 \leq j \leq \min(n,-\infty) \\ a_j & \min(m,n) < j \leq n \\ b_j & \min(m,n) < j \leq -\infty \end{cases} = a_j $$ gilt.
- Inverse ($+$): Das Polynom $-p=\sum_{j=0}^n(-a_j)x^j$ ist das additiv Inverse, weil die Koeffizienten $e_j = a_j+(-a_j) = 0$ für alle $j\geq 0$ erfüllen. Darum ist $\ell=-\infty$ und $p+(-p)=0$.
- Assoziativgesetz ($\cdot$): Sei ein drittes Polynom $r=\sum_{i=0}^k h_ix^i$ gegeben. Wir berechnen die Koeffizienten $f_j$ von $(pq)r$ wie folgt: \begin{eqnarray*} f_j &=& \sum_{i=\max(0,j-k)}^{\min(j,\max(m,n))}d_ih_{j-i} = \sum_{i=\max(0,j-k)}^{\min(j,\max(m,n))}h_{j-i}\sum_{\ell=\max(0,i-m)}^{\min(i,n)}a_\ell b_{i-\ell}\\ &=& \sum_{(i,s,t)\in A}a_ib_s h_t \end{eqnarray*} mit $A=\{(\ell,s,t)\mid \ell+s+t=j\wedge 0\leq \ell\leq n\wedge 0\leq s\leq m\wedge 0\leq t\leq k$, was man durch Fallunterscheidung und $t=j-i$, $s=i-\ell$ erhält. Der Summand und die Menge der Summenindices sind symmetrisch in $(a_j,n)$, $(b_j,m)$ und $(h_j,k)$, und daher ist die Verknüpfung assoziativ.
- Kommutativgesetz ($\cdot$): Es gilt $$\sum_{i=\max(0,j-m)}^{\min(j,n)}a_ib_{j-i}=\sum_{k=\max(0,j-n)}^{\min(j,m)}b_{k}a_{j-k},$$ wie man durch Verschiebung des Summationsindex $k=j-i$ sofort sieht. Daher ist die Multiplikation kommutativ.
- Einselement ($\cdot$): Das Polynom $1=\sum_{j=0}^01x^j$ ist das Einselement, weil die Koeffizienten $g_j$ von $1p$ und $p\neq 0$ $$ d_j = \sum_{i=\max(0,j)}^{\min(j,n)}1a_i = a_j $$ für $0\leq j\leq n$ erfüllen und $\max(n,0)=n$ gilt.
- Distributivgesetz: Sei ein drittes Polynom $r=\sum_{i=0}^k h_ix^i$ gegeben. Weil $\cdot$ kommutativ ist, können wir o.B.d.A. annehmen, dass $n\geq m$ ist. Wir setzen $b_j=0$ für $m < j\leq n$. Dann haben die Koeffizienten $c_j$ von $p+q$ die Form $c_j=a_j+b_j$ für $0\leq j\leq n$. Wir berechnen die Koeffizienten $f_j$ von $(p+q)r$ wie folgt: \begin{eqnarray*} f_j &=& \sum_{i=\max(0,j-k)}^{\min(j,\ell)}c_ih_{j-i}\\ &=& \sum_{i=\max(0,j-k)}^{\min(j,\ell)}(a_i+b_i)h_{j-i} = \sum_{i=\max(0,j-k)}^{\min(j,\ell)}(a_ih_{j-i}+b_ih_{j-i})\\ &=& \sum_{i=\max(0,j-k)}^{\min(j,\ell)}a_ih_{j-i}+ \sum_{i=\max(0,j-k)}^{\min(j,\ell)}b_ih_{j-i}. \end{eqnarray*} Die Koeffizienten $g^1_j$ von $pr$ und $g^2_j$ von $qr$ haben die Form \begin{eqnarray*} g^1_j &=& \sum_{i=\max(0,j-k)}^{\min(j,\ell)}a_ih_{j-i} \\ g^2_j &=& \sum_{i=\max(0,j-k)}^{\min(j,\ell)}b_ih_{j-i}, \end{eqnarray*} wobei die $g^1_j$ definiert sind für $0\leq j\leq n$ und die $g_j^2$ für $0\leq j\leq m$. In der Summe ergibt sich genau $f_j$, da in $f_j$ ebenfalls die zweite Summe im Ergebnis verschwindet für $m < j\leq n$.