Lösung für Aufgabe 5.3.13
Betrachten wir die Menge $R=\{0\}$ mit den Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ mit $0+0=0$ und $0\cdot 0=0$. Zeigen Sie, dass $(R,+,\cdot)$ einen kommutativen Ring bildet, den trivialen Ring. Ist der triviale Ring ein Ring mit Einselement? Wie sieht der einfachste Ring mit Einselement aus?$(R,+)$ ist die triviale Gruppe, eine abelsche Gruppe. $(R,\cdot)$ ist die triviale Halbgruppe, also eine abelsche Halbgruppe. Das Distributivgesetz ist offensichtlich: $0(0+0)=0\cdot 0=0=0+0=0\cdot0+0\cdot 0$. Daher ist $(R,+,\cdot)$ ein kommutativer Ring. Er ist kein Ring mit Einselement, da $1\neq 0$ verlangt wäre. Der einfachste Ring mit Einselement ist $(\Z_2,+,\cdot)$.