Lösung für Aufgabe 5.2.6
Wir definieren auf der Menge $\Q$ der rationalen Zahlen die Verknüpfung $\odot$ durch $$ a\odot b := 6a+6b+3ab+10 = 3(a+2)(b+2)-2. $$ Überprüfen Sie, ob $\odot$ das Assoziativgesetz erfüllt.\begin{eqnarray*} a\odot(b\odot c) &=& a\odot(3(b+2)(c+2)-2) = 3(a+2)\bigl(3(b+2)(c+2)-2+2\bigr)-2\\ &=& 9(a+2)(b+2)(c+2)-2 = 3\bigl(3(a+2)(b+2)-2+2\bigr)(c+2)-2\\ &=& (3(a+2)(b+2)-2)\odot c = (a\odot b)\odot c \end{eqnarray*} Daher ist die Verknüpfung assoziativ.