Lösung für Aufgabe 5.2.60
Betrachten sie alle $16$ möglichen Verknüpfungstabellen für zweielementige Mengen und zeigen Sie, dass es sich außer bei $\Z_2$ und $(G,\Box)$ aus Bemerkung 5.2.59 um keine Gruppen handelt. Übrigens, kommen ihnen einige dieser $16$ Tabellen bekannt vor?Die 16 möglichen Cayley--Tafeln sind
Nachdem in einer Gruppe jede Zeile und jede Spalte der Cayley--Tafel
eine Permutation der Elemente sein muss (wegen Proposition 5.2.46.(iii)),
gibt es nur zwei mögliche Gruppen, nämlich die Verknüpfung
in Zeile 2, Spalte 3 ($\Z_2$) und die Verknüpfung
in Zeile 3, Spalte 2 ($(G,\Box)$).
Die folgenden Verknüpfungen sind bereits vorgekommen:
- Zeile 1, Spalte 1: $\o\equiv 0$
- Zeile 1, Spalte 2: $\o=\wedge$
- Zeile 2, Spalte 3: $\o=\xor$
- Zeile 2, Spalte 4: $\o=\vee$
- Zeile 3, Spalte 2: $\o=\liff$
- Zeile 4, Spalte 2: $\o=\limplies$
- Zeile 4, Spalte 3: $\o=\lnand$
- Zeile 4, Spalte 4: $\o\equiv 1$