Lösung für Aufgabe 5.2.41
Zeigen Sie, dass

Hinweis: Betrachten Sie dazu die Verknüpfungstabellen.
Die Cayley--Tafel für


Die Cayley--Tafel von (\Z_4,+) ist ein lateinisches Quadrat, was eine Grundvoraussetzung dafür ist, dass eine Gruppe vorliegt. Leider fehlt noch der Nachweis der Assoziativität, der nicht direkt der Cayley--Tafel angesehen werden kann. Um die Assoziativität direkt zu zeigen, müssten wir alle Kombinationen der Form a+(b+c) und (a+b)+c für a,b,c\in\Z_4 berechnen und vergleichen. Ohne weitere Einschränkung sind das 2\cdot 4^3=128 Rechnungen. (Natürlich folgt die Assoziativität direkt aus der Definition von \Z_4 und +, wie wir in Proposition 5.3.11 für alle \Z_n zeigen.)
Wir können aber einige einfache Tatsachen verwenden, um den Rechenaufwand zu reduzieren. Zum einen folgt direkt aus der Kommutativität, dass für alle a,b\in\Z_4 a+(b+a)=(a+b)+a ist. Ferner können wir alle Rechnungen weglassen, in denen 0 vorkommt, weil wir schon wissen, dass 0 das Nullelement ist: 0+(a+b)=a+b=(0+a)+b, a+(0+b)=a+b=(a+0)+b, etc. Für a,b,c verschieden genügt es dann zu zeigen, dass a+(b+c)=b+(c+a)=c+(a+b) gilt. Daraus folgt dann wegen der Kommutativität schon das Assoziativgesetz für a,b,c.
Die Gruppen (\Z_4,+) und V_4 sind tatsächlich verschieden. In V_4 gilt für jedes Element a die Gleichung a\o a=e (jedes Element ist also selbstinvers), während in \Z_4 nur das Nullelement diese Eigenschaft aufweist.