Lösung für Aufgabe 5.2.41
Zeigen Sie, dass $(\Z_{4},+)$ eine Gruppe bildet. Vergleichen Sie diese vierelementige Gruppe mit der Kleinschen Vierergruppe $V_{4}$.Hinweis: Betrachten Sie dazu die Verknüpfungstabellen.
Die Cayley--Tafel für $(\Z_4,+)$ haben wir in Aufgabe 5.1.11 bestimmt. Aus der Verknüpfungstabelle können wir entnehmen, dass $0$ das Nullelement ist, dass die Verknüpfung kommutativ ist (weil die Tabelle symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale (die von links oben nach rechts unten verläuft) ist, und dass jedes Element genau ein Inverses besitzt, weil in jeder Zeile (und Spalte) das Nullelement $0$ genau einmal auftritt. Die Cayley--Tafel von $(\Z_4,+)$ ist ein lateinisches Quadrat, was eine Grundvoraussetzung dafür ist, dass eine Gruppe vorliegt. Leider fehlt noch der Nachweis der Assoziativität, der nicht direkt der Cayley--Tafel angesehen werden kann. Um die Assoziativität direkt zu zeigen, müssten wir alle Kombinationen der Form $a+(b+c)$ und $(a+b)+c$ für $a,b,c\in\Z_4$ berechnen und vergleichen. Ohne weitere Einschränkung sind das $2\cdot 4^3=128$ Rechnungen. (Natürlich folgt die Assoziativität direkt aus der Definition von $\Z_4$ und $+$, wie wir in Proposition 5.3.11 für alle $\Z_n$ zeigen.) Wir können aber einige einfache Tatsachen verwenden, um den Rechenaufwand zu reduzieren. Zum einen folgt direkt aus der Kommutativität, dass für alle $a,b\in\Z_4$ $a+(b+a)=(a+b)+a$ ist. Ferner können wir alle Rechnungen weglassen, in denen $0$ vorkommt, weil wir schon wissen, dass $0$ das Nullelement ist: $0+(a+b)=a+b=(0+a)+b$, $a+(0+b)=a+b=(a+0)+b$, etc. Für $a,b,c$ verschieden genügt es dann zu zeigen, dass $a+(b+c)=b+(c+a)=c+(a+b)$ gilt. Daraus folgt dann wegen der Kommutativität schon das Assoziativgesetz für $a,b,c$. \begin{gather*} (1+1)+2 = 0 = 1+(1+2),\qquad (1+1)+3 = 1 = 1+(1+3),\qquad (2+2)+1 = 1 = 2+(2+1),\\ (2+2)+3 = 3 = 2+(2+3),\qquad (3+3)+1 = 3 = 3+(3+1),\qquad (3+3)+2 = 0 = 3+(3+2),\\ 2 = 1+(2+3) 2+(3+1) = 3+(1+2).\\ \end{gather*} Daher ist $(\Z_4,+)$ eine Gruppe. Die Gruppen $(\Z_4,+)$ und $V_4$ sind tatsächlich verschieden. In $V_4$ gilt für jedes Element $a$ die Gleichung $a\o a=e$ (jedes Element ist also selbstinvers), während in $\Z_4$ nur das Nullelement diese Eigenschaft aufweist.