Lösung für Aufgabe 5.2.15
Beweisen Sie, dass die Einheitsmatrix und die Nullmatrix jeweils neutrale Elemente von $(M_{2}(\R),\cdot)$ bzw. $(M_{2}(\R,+))$ sind.Nullelement: $$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+0 & a_{12}+0\\ a_{21}+0 & a_{22}+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$ Einselement: $$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1a_{11}+0a_{12} & 0a_{11}+1a_{12}\\ 1a_{21}+0a_{22} & 0a_{21}+1a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$