Lösung für Aufgabe 2.3.5
Überprüfen Sie, welche der folgenden Gleichungen gelten. Sollte eine Gleichung falsch sein, so stellen Sie die rechte Seite richtig:- $\displaystyle\sum_{i=1}^{5} a_{i}=\sum_{j=3}^{7}a_{j-2}$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} p_{2k-1} = \sum_{j=-n+1}^{0} p_{-1-2j}$
- $\displaystyle\sum_{t\in\{9,16,25,36,49\}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! m^{j}_{t}\;\; = \sum_{p=2}^{6} m_{i}^{(p+1)^{2}}$
- $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} b_{2k}= \sum_{j=0}^{2n}\frac{(-1)^{j}+1}{2} b_{j}$
- $\displaystyle\sum_{j=1}^{n} c_{3j-1}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{3j+2}$
- $\displaystyle\sum_{j=0}^{n} k^{2j} = \sum_{r=0}^{2n} k^{r}- \sum_{s=0}^{n} k^{2s+1}$
- $\displaystyle\log\prod_{i=0}^{n} 3^{a_{i}}= \log 3\sum_{j=0}^{n}a_{j}$
- $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k} a^{j}b^{k-j} = \sum_{j=0}^{n}\sum_{k=j}^{n} a^{j}b^{k-j}$
1. Richtig 2. Falsch $$\sum_{k=1}^{n}p_{2k-1}=p_1+p_3+\dots+p_{2n-1} \neq \sum_{j=-n+1}^{0}p_{-1-2j}=p_{2n-3}+p_{2n-5}+\dots+p_{-1})$$ Veränderung der rechten Seite: $$\sum_{j=-n+1}^{0}p_{1-2j}$$ 3. Falsch $$\sum_{t \in \{9,16,25,36,49\}}m_t^j=m_9^j+\dots+m_{49}^j \neq \sum_{p=2}^{6}m_i^{(p+1)^2}=m_i^9+\dots+m_i^{49}$$ Veränderung der rechten Seite: $$\sum_{p=2}^{6}m_{(p+1)^2}^j$$ 4. Richtig 5. Falsch
Veränderung der rechten Seite: Benenne die Laufvariable in $j$ um. 6. Falsch $$\sum_{j=0}^{n}k^{2j}=1+k^2+k^4+\dots+k^{2n} \neq \sum_{r=0}^{2n}k^r-\sum_{s=0}^{n}k^{2s+1}=1+k+k^2+k^3+k^4+\dots+k^{2n}-k-k^3-\dots-k^{2n+1}$$ Veränderung der rechten Seite: $$\sum_{r=0}^{2n}k^r-\sum_{s=0}^{n-1}k^{2s+1}$$ 7. Richtig 8. Richtig