Lösung für Aufgabe 2.3.4
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe von Summen- bzw. Produktzeichen:- $1+3+9+27+81+243+729+2187$
- $a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}+a_{10}$
- $x^{9}+3x^{14}+9x^{19}+27x^{24}+81x^{29}+243x^{34}+729x^{39}$
- $1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\dots(2n-1)$
- $\tfrac12+\tfrac16+\tfrac1{12}+\tfrac1{20}+\tfrac1{30}+\tfrac1{42}$
- $a_{1}+3a_{2}+5a_{3}+2a_{1}^{2}+6a_{2}^{2}+10a_{3}^{2}+ 4a_{1}^{3}+12a_{2}^{3}+20a_{3}^{3}+ 8a_{1}^{4}+24a_{2}^{4}+40a_{3}^{4}$
1. $$1+3+9+27+81+243+729+2187=\sum_{i=0}^{7}3^i$$ 2. $$a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=\sum_{i=1}^{5}a_{2i}$$ 3. $$x^9+3x^{14}+9x^{19}+27x^{24}+81x^{29}+243x^{34}+729^{39}=\sum_{i=0}^{6}3^ix^{9+5i}$$ 4. $$1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot \dots\cdot (2n-1)=\prod_{k=1}^{n}(2k-1)$$ 5. $$\frac12+\frac16+\frac1{12}+\frac1{20}+\frac1{30}+\frac1{42}=\sum_{i=1}^{6}\frac1{i(i+1)}$$ 6. $$a_1+3a_2+5a_3+2(a_1)^2+6(a_2)^2+10(a_3)^2+4(a_1)^3+12(a_2)^3+20(a_3)^3+8(a_1)^4+24(a_2)^4+40(a_3)^4=\sum_{i=0}^{3} \sum_{j=1}^{3}2^i\cdot (2j-1)(a_j)^{i+1}$$