Lösung für Aufgabe 2.3.3
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung der Summen- bzw. Produktzeichen an:
12k=2k2k+1−6k=−4bk−8k=−2b−knk=0xk−1
7i=1hi6.7.8.9.10.9j=1i35l=1lj6j=33k=1(jk−2)5j=24k=2ejk+2mk=0mj=k
jk
1.
12k=2k2k+1=25+37+49+511+613+715+817+919+1021+1123+1225=954858598037053645131518747
2. \sum_{k=-4}^{-6}b_k=0, weil die untere Grenze größer als die obere ist.
3. \sum_{k=-2}^{-8}b_{-k}=0, weil die untere Grenze größer als die obere ist.
4.
\sum_{k=0}^{n}x^{k-1}=1/x+1+x+x^2+\dots+x^{n-1}.
5. \prod_{i=1}^{7}h^i=h^1\cdot h^2\cdot\dots\cdot h^7=h^{28}.
6. \prod_{j=1}^{9}i^3=i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3 = i^{27}.
7. \prod_{l=1}^{5}l^j=1\cdot 2^j\cdot 3^j\cdot 4^j\cdot 5^j=120^j.
8. \sum_{j=3}^{6}\prod_{k=1}^{3}(jk-2)=\sum_{j=3}^{6}(j-2)(2j-2)(3j-2)=(1\cdot 4\cdot 7)+(2\cdot 6\cdot 10)+(3\cdot 8\cdot 13)+(4\cdot10 \cdot16)=1100.
9. \sum_{j=2}^{5}\prod_{k=2}^{4}e^{jk+2}=\sum_{j=2}^{5}e^{2j+2}e^{3j+2}e^{4j+2}=\sum_{j=2}^{5}e^{9j+6}=e^{24}+e^{33}+e^{42}+e^{51}.
10.
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{m} \sum_{j=k}^{m}\binom{k}{j}&=\sum_{k=0}^{m}\left(\binom{k}{k}+\binom{k}{k+1}+\dots+\binom{k}{m}\right)\\
&=\left(\binom{0}{0}+\binom{0}{1}+\dots+\binom{0}{m}\right)+\left(\binom{1}{1}+\binom{1}{2}+\dots+\binom{1}{m}\right)+\dots+\left(\binom{m-1}{m-1}+\binom{m-1}{m}\right)+\binom{m}{m}\\
&=(1+0+\dots+0)+(1+0+\dots+0)+\dots+(1+0)+1=m+1.
\end{align*}