Lösung für Aufgabe 2.3.3
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung der Summen- bzw. Produktzeichen an: \begin{equation*} \begin{array}{r@{\;\;}l@{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}r@{\;\;}l} \text{1.} & \displaystyle\sum_{k=2}^{12} k^{2k+1} & \text{6.} & \displaystyle\prod_{j=1}^{9}i^{3} \\ \text{2.} & \displaystyle\sum_{k=-4}^{-6} b_{k} & \text{7.} & \displaystyle\prod_{l=1}^{5}l^{j} \\ \text{3.} & \displaystyle\sum_{k=-2}^{-8} b_{-k} & \text{8.} & \displaystyle\sum_{j=3}^{6}\prod_{k=1}^{3}(jk-2)\\ \text{4.} & \displaystyle\sum_{k=0}^{n} x^{k-1} & \text{9.} & \displaystyle\sum_{j=2}^{5}\prod_{k=2}^{4} e^{jk+2} \\ \text{5.} & \displaystyle\prod_{i=1}^{7}h^{i} & \text{10.} & \displaystyle\sum_{k=0}^{m}\sum_{j=k}^{m}\binom kj \end{array} \end{equation*}1. $$\sum_{k=2}^{12}k^{2k+1}=2^5+3^7+4^9+5^{11}+6^{13}+7^{15}+8^{17}+9^{19}+10^{21}+11^{23}+12^{25}=954858598037053645131518747.$$ 2. $\sum_{k=-4}^{-6}b_k=0$, weil die untere Grenze größer als die obere ist. 3. $\sum_{k=-2}^{-8}b_{-k}=0$, weil die untere Grenze größer als die obere ist. 4. $$\sum_{k=0}^{n}x^{k-1}=1/x+1+x+x^2+\dots+x^{n-1}.$$ 5. $$\prod_{i=1}^{7}h^i=h^1\cdot h^2\cdot\dots\cdot h^7=h^{28}.$$ 6. $$\prod_{j=1}^{9}i^3=i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3\cdot i^3 = i^{27}.$$ 7. $$\prod_{l=1}^{5}l^j=1\cdot 2^j\cdot 3^j\cdot 4^j\cdot 5^j=120^j.$$ 8. $$\sum_{j=3}^{6}\prod_{k=1}^{3}(jk-2)=\sum_{j=3}^{6}(j-2)(2j-2)(3j-2)=(1\cdot 4\cdot 7)+(2\cdot 6\cdot 10)+(3\cdot 8\cdot 13)+(4\cdot10 \cdot16)=1100.$$ 9. $$\sum_{j=2}^{5}\prod_{k=2}^{4}e^{jk+2}=\sum_{j=2}^{5}e^{2j+2}e^{3j+2}e^{4j+2}=\sum_{j=2}^{5}e^{9j+6}=e^{24}+e^{33}+e^{42}+e^{51}.$$ 10. \begin{align*} \sum_{k=0}^{m} \sum_{j=k}^{m}\binom{k}{j}&=\sum_{k=0}^{m}\left(\binom{k}{k}+\binom{k}{k+1}+\dots+\binom{k}{m}\right)\\ &=\left(\binom{0}{0}+\binom{0}{1}+\dots+\binom{0}{m}\right)+\left(\binom{1}{1}+\binom{1}{2}+\dots+\binom{1}{m}\right)+\dots+\left(\binom{m-1}{m-1}+\binom{m-1}{m}\right)+\binom{m}{m}\\ &=(1+0+\dots+0)+(1+0+\dots+0)+\dots+(1+0)+1=m+1. \end{align*}