Abstract English

This project is a continuation of the Project P 24301. The following tasks are the principal aims of the project.

We plan to develop further those recent spectral and Weyl (Weyl-Titchmarsh) theoretic results on continuous and discrete equations, which either have been obtained in the framework of the Project P 24301 or are related to it. In particular, we plan to find procedures for solving inverse problems for many important cases, including equations with singularities, discrete and continuous Dirac and Schrödinger equations, canonical systems and various generalizations.

These results will be in turn used for the study of dynamical systems. Namely, the study of dynamical systems will be based on the interconnections between Weyl functions (for so called systems in the spectral domain) and response functions for dynamical systems. We will study these interconnections as well as interconnections between Weyl theory and boundary control method for dynamical Dirac and Schrödinger equations and their generalizations. Using interconnections between Weyl functions and response functions we will apply our procedures to recover systems from the Weyl functions (i.e., procedures from the Project P 24301 and those obtained in the framework of this proposal) in order to recover the corresponding dynamical systems from response functions.

Applications of the methods of Weyl theory to dynamical systems, as well as the study of stability and regularization for inverse problems of Weyl theory, form the most innovative part of the proposed research.

The stability of solving inverse problems is an important and quite insufficiently studied domain. We shall start with our procedures of explicit solving of the inverse problems, and shall prove their stability. Riccati equations will be essential for this part of research. In general, inverse problems are nonlinear and unstable and for our general-type procedures of solving inverse problems we shall deal with their regularization, which is required for applications.

Using evolution of Weyl functions, we will prolong our study of initial-boundary value problems for integrable wave equations, including dynamical systems. These problems are mostly overdetermined and we will make emphasis on the removal of the redundant conditions. In particular, on the study of the cases where boundary conditions are uniquely defined by the initial ones or the other way around. We also expect optimization and boundary control results for those cases. We plan to use our version of the generalized Bäcklund-Darboux transformation (GBDT) in order to obtain and study explicit solutions of inverse problems and various explicit (so called multipole) solutions of nonlinear integrable equations. The mentioned above tasks will generate new important results in the related domains of inversion of operators, factorization and Riccati equations,

Weyl-Theorie: Verfahren, Stabilität, Steuerung, Anwendungen
(Abstract German)

Dieses Projekt ist eine Fortsetzung des Projektes P 24301. Im Folgenden werden die Hauptaufgaben des Projektes beschrieben.

Als Erstes beabsichtigen wir eine Weiterentwicklung von den aktuellen Weyl (Weyl-Titchmarsh) theoretischen Resultaten im Bereich der diskreten und stetigen Gleichungen, welche entweder direkt im Rahmen des Projektes P 24301 erzielt wurden oder in nahen Verbindung mit den Resultaten des Projektes stehen. Insbesondere haben wir vor, die Verfahren für die Lösungen von inversen Problemen mit kürzlich erhaltenen Eindeutigkeitsresultaten zu suchen, inklusive die Verfahren für Gleichungen mit Singulari täten und für verschiedene (diskrete und stetige) Verallgemeinerungen von Dirac und Schrödinger Gleichungen und von kanonischen Systemen.

Die wichtigste Innovation der geplanten Forschung ist verbunden mit der Untersuchung der Stabilität und mit der Regularisierung der inversen Problemen von Weyl-Theorie sowie mit den Anwendungen der weyltheoretischen Methoden auf dynamische Systeme. Einige unserer Beispiele sind im Antrag gegeben und wir vermuten, dass deren weitgehende Verallgemeinerungen und Entwicklungen möglich sind. Viele inverse Probleme sind unstabil und ihre Regularisierung ist notwendig für die Anwendungen.

Durch die Zustandsraummethode, die Methode von Operatoridentitäten und die Riccati Gleichungen, werden wir bestimmte Klassen v on Gleichungen untersuchen um die Klassen von den Gleichungen mit stabilen Verfahren für die Lösungen von inversen Problemen zu finden. Im Weiteren werden wir die Regularisierungen für solche Fälle in Betracht ziehen, bei denen die Verfahren für das Lösen von inversen Problemen von Weyl-Theorie unstabil sind. Wir werden die Verbindungen zwischen Weyl-Theorie und Randsteuerungmethode für dynamische Dirac and Schrödinger Gleichungen (und für die Verallgemeinerungen von solchen Gleichungen) studieren. Als Resultat, erwarten wir, die Verfahren für die Wiedererlangung dynamischer Systeme aus den Antwortfunktionen für den Fall der expliziten Lösungen zu entwickeln.

Wir werden auch neue generelle Verfahren für die Wiedererlangung dynamischer Dirac und Schrödinger Systeme erhalten und diese ebenfalls für andere wichtige dynamische Systeme modifizieren. Durch die Verwendung von Evolutionsformeln der Weylsche Funktionen werden wir die Anfangs-Randwertprobleme für die integrierbaren Wellengleichungen weiterstudieren. Diese Probleme sind meistens überdeterminiert. Wir werden den Schwerpunkt auf die Fälle, in denen die Randwertbedingungen eindeutig durch die Anfangsbedingungen (oder umgekehrt) bestimmt sind, setzen. Wir erwarten auch Resultate im Bereich der Optimalen Steuerung für diese Fälle. Wir beabsichtigen unsere verallgemeinerte Version von Bäcklund-Darboux-Transformation (GBDT) zu verwenden um explizite Lösungen der inversen Problemen und verschiedene explizite (sogenannte "Multipole") Lösungen der nichtlinearen integrierbaren Gleichungen zu erhalten und zu studieren.

Die oben genannte Aufgaben werden auch neue wichtige Ergebnisse in den verwandten Gebieten der Invertierung Operatoren, Interpolation, Faktorisierung, Riccati Gleichungen, spektralen Theorie der Funktionen von (S+N)-Dreiecksoperatoren und in der sogenannten Intervall-Stabilität erzielen.