Lösung für Aufgabe 4.2.27
Seien die geordneten Mengen $(A,\leq)$ und $(B,\preceq)$ gegeben. Auf $A\x B$ definieren wir die Relation $\unlhd$ durch \begin{equation*} (a,b)\unlhd(a',b'):\liff a < a' \vee (a=a' \wedge b\preceq b'). \end{equation*} Zeigen Sie, dass $\unlhd$ eine Ordnungsrelation auf $A\x B$ definiert, die so genannte lexikographische Ordnung.Wir weisen die erforderlichen Eigenschaften nach:
- Reflexivität: Sei $(a,b)\in A\times B$. Wegen $a=a$ und $b\preceq b$ ($\preceq$ ist eine Ordnungsrelation) gilt $(a,b)\unlhd(a,b)$.
- Antisymmetrie: Sei $(a,b),(a',b')\in A\times B$, und es gelte $(a,b)\unlhd(a',b')$ und $(a',b')\unlhd(a,b)$. Es muss $a=a'$ sein, da nicht beide $a < a'$ und $a' < a$ gelten können, weil $<$ als Ordnungsrelation antisymmetrisch ist. Daraus folgen aber $b\preceq b'$ und $b'\preceq b$, und aus der Antisymmetrie von $\preceq$ erhalten wir $b=b'$, und damit gilt $(a,b)=(a',b')$.
- Transitivität: Seien $(a,b),(a',b'),(a'',b'')\in A\times B$ mit $(a,b)\unlhd(a',b')$ und $(a',b')\unlhd(a'',b'')$. Wir unterscheiden im Beweis zwei Fälle: Gilt zunächst $a < a'$ oder $a' < a''$, so folgt aus Transitivität und Reflexivität von $<$, dass $a < a''$ gilt, und damit $(a,b)\unlhd(a'',b'')$. Haben wir andererseits, dass $a=a'=a''$, dann wissen wir $b\preceq b'$ und $b'\preceq b''$. In diesem Fall folgt aus der Transitivität von $\preceq$, dass $b\preceq b''$, und mit $a=a''$ sofort $(a,b)\unlhd(a'',b'')$.