Lösung für Aufgabe 4.2.10
- Auf der Menge $\Z$ der ganzen Zahlen betrachten wir die Relation \[x\equiv y\ :\Leftrightarrow x-y \text{ gerade}.\] Zeigen Sie, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
- Ersetzen Sie in 1. "gerade" durch "ungerade". Handelt es sich nach wie vor um eine Äquivalenzrelation?
- Finden Sie weitere Beispiele für Äquivalenzrelationen.
- Bei einer Versuchsreihe werden 2 Messergebnisse als gleich betrachtet, wenn sie sich um weniger als $10^{-22}m$ unterscheiden. Definiert dieser Gleichheitsbegriff eine Äquivalenzrelation?
- Wir zeigen alle Eigenschaften:
- Reflexivität: Für $m\in\Z$ ist $m-m=0$ gerade, also $m\equiv m$.
- Symmetrie: Gilt für $m,n\in\Z$, dass $m\equiv n$, dann ist $m-n=:k$ gerade. In diesem Fall ist auch $n-m=-k$ gerade, und daher gilt $n\equiv m$.
- Transitivität: Seien $k,m,n\in\Z$ mit $k\equiv m$ und $m\equiv n$. Dann ist $k-n=(k-m)+(m-n)$ als Summe der beiden geraden Zahlen $k-m$ und $m-n$ gerade. Also gilt $k\equiv n$.
- Nein, da diese Relation nicht einmal reflexiv ist. Auch die Transitivität ist verletzt.
- Auf $\Z$ seien zwei Zahlen äquivalent, wenn sie dasselbe Vorzeichen haben.
- Nein. Die entstehende Relation ist nicht transitiv. Es gelten $0\sim 7\cdot10^{-23}$, $7\cdot10^{-23}\sim 1.4\cdot10^{-22}$ aber nicht $0\sim 1.4\cdot10^{-22}.