Lösung für Aufgabe 3.2.8
Es seien $p,$ $q,$ und $r$ beliebige Aussagen. Sind dann die folgenden Aussagen wahr?- $(p \vee (p \Rightarrow q)) \Rightarrow q$,
- $((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)) \Rightarrow (p \Rightarrow q)$,
- $((p \Rightarrow q) \wedge (\neg q)) \Rightarrow \neg p$,
- $(\neg q \vee p) \Leftrightarrow (\neg p \Rightarrow \neg q)$.
Hinweis: Diese Aufgaben können Sie jeweils auf zwei Arten anpacken. Entweder Sie stellen die Wahrheitstabelle auf, oder Sie verwenden die Rechenregeln aus Theorem 3.1.10. Für die erste Aussage, nennen wir sie $A$, sieht das etwa so aus: $$ \begin{array}{c|c|c|c||c} p\ &\ q\ &\ p\Rightarrow q & p\vee(p\Rightarrow q)\ &\ A \\\hline 0&0& 1 & 1 & 0\\ 1&0& 0 & 1 & 0\\ 0&1& 1 & 1 & 1\\ 1&1& 1 & 1 & 1\\ \end{array} $$ Oder: \begin{eqnarray*} (p \vee (p \Rightarrow q)) \Rightarrow q &=& \neg(p \vee (p \Rightarrow q))\vee q \,=\, (\neg p\wedge \neg(\neg p\vee q))\vee q\\ &=& (\neg p\wedge p\wedge \neg q)\vee q\,=\, (0\wedge\neg q)\vee q = 0\vee q = q. \end{eqnarray*} Also gilt $A=q$ und daher ist $A$ genau dann wahr, wenn es $q$ ist.
1. Siehe Hinweis 2. \begin{align*} ((p \Rightarrow q) &\wedge (q \Rightarrow r)) \Rightarrow (p \Rightarrow q)\\ &= \neg ((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)) \vee (p \Rightarrow q)\\ &= \neg (\neg p \vee q) \vee \neg (\neg q \vee r) \vee (\neg p \vee q)\\ &= \neg (\neg p \vee q) \vee (\neg p \vee q) \vee (q \wedge \neg r)\\ &= 1 \vee (q \wedge \neg r)\\ &=1 \end{align*} Daraus folgt, die Aussage ist immer wahr. 3. \begin{align*} ((p \Rightarrow q) &\wedge \neg q) \Rightarrow \neg p\\ &=\neg((p \Rightarrow q) \wedge \neg q) \vee \neg p\\ &=(\neg (\neg p \vee q) \vee q)\vee \neg q\\ &=((p \wedge \neg q) \vee q) \vee \neg q\\ &=((p \vee q) \wedge (\neg q \vee q)) \vee \neg q\\ &=(p \vee q) \vee \neg q\\ &=(p \vee \neg q) \vee 1\\ &=1 \end{align*} Die Aussage ist immer wahr. 4. \begin{align*} (\neg q \vee p) &\Leftrightarrow (\neg p \Rightarrow \neg q)\\ &=(\neg(\neg q \vee p) \wedge \neg(\neg p \Rightarrow \neg q)) \vee ((\neg q \vee p) \wedge (\neg p \Rightarrow \neg q))\\ &=((q \vee \neg p)\wedge(\neg p \vee q)) \wedge ((p \vee \neg q) \wedge (p \vee \neg q))\\ &=(\neg p \vee q) \wedge (p \vee \neg q) = \neg(\neg q \vee p)) \wedge ((\neg q \vee p)=1 \end{align*} Die Aussage ist immer wahr.