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Lösung für Aufgabe 3.2.24

Begründen Sie, warum die folgenden Abwandlungen der Aussagen (iii) und (iv) in Theorem 3.2.22 falsch sind:
  1. $\exists x:P(x)\wedge Q(x) = (\exists x:P(x))\wedge (\exists x:Q(x))$,
  2. $\forall x:P(x)\vee Q(x) = (\forall x:P(x))\vee (\forall x:Q(x))$.



1.

Die Aussage auf der linken Seite, bedeutet, dass es ein $x$ gibt, für das sowohl $P(x)$ als auch $Q(x)$ gilt. Auf der rechten Seite steht allerdings, dass es ein $x$ gibt, für das $P(x)$ gilt und eines für das $Q(x)$ gilt. Das impliziert nicht, dass dieses eine $x$ beide Eigenschaften erfüllen muss. Es können zwei verschieden $x$ sein. Damit sind die Behauptungen nicht gleich.

Beispiel:

Sei $P(x)$ die Eigenschaft, dass $x$ eine gerade Zahl ist und $Q(x)$ die Eigenschaft, dass $x$ eine ungerade Zahl ist. Es gibt kein $x$, das sowohl gerade als auch ungerade ist. Aber es gibt ein $x$, das gerade ist und eines, das ungerade ist.

2.

Die linke Seite sagt aus, dass alle $x$ zumindest eine Eigenschaft $P(x)$ oder $Q(x)$ oder beide haben. Gibt es ein $x$, das nur eine der beiden Eigenschaften erfüllt, so erfüllt es die Aussage auf der rechten Seite nicht.

Beispiel:

Sei $P(x)$ wieder die Eigenschaft, dass $x$ eine gerade Zahl ist und $Q(x)$ die Eigenschaft, dass $x$ eine ungerade Zahl ist. Die linke Aussage gilt für alle $n \in \mathbb{N}$ (da jede Zahl gerade oder ungerade ist). Die rechte Seite gilt gar nicht, weil nicht alle natürlichen Zahlen gerade und nicht alle ungerade sind. Daher sind die Aussagen nicht gleich.