Lösung für Aufgabe 3.2.23
Formen Sie die folgenden Aussagen gemäß der entsprechenden Rechenregel aus Theorem 3.2.22 um:- Es gibt eine ganze Zahl $r$, die positiv oder durch drei teilbar ist.
- Alle natürlichen Zahlen sind Primzahlen und Summe dreier Quadratzahlen.
- Für alle reellen Zahlen $r>1$ ist $0<1$ oder $r^{2}<0$.
- Es gilt $\sqrt2\in\Q$, und es gibt eine rationale Zahl $q$ mit $q^{2}=2$.
- Weil das Quadrat jeder positiven natürlichen Zahl größer als $1$ ist, gilt $0<1$.
- Für alle ganzen Zahlen $z$ folgt aus $z^{2}>0$ sofort $1>0$.
- Wegen $0<1$ gilt für alle positiven natürlichen Zahlen $n$, dass $n^{2}>0$.
- Es gibt eine Primzahl $p$, für die aus $2|p$ folgt, dass es eine gerade Primzahl gibt.
1. Wir verwenden die Rechenregel (iii) aus Theorem 3.2.22. $$\exists r \in \mathbb{Z}: r \in \mathbb{Z}_{+} \vee 3|r = (\exists r \in \mathbb{Z}: r \in \mathbb{Z}_{+}) \vee (\exists r \in \mathbb{Z}: 3|r).$$ Es gibt eine ganze Zahl $r$, die postiv ist, oder es gibt eine ganze Zahl $r$, die durch drei teilbar ist. 2. Wir verwenden die Rechenregel (iv) aus Theorem 3.2.22. \begin{align*} \forall n \in \mathbb{N}&: (n \in \mathbb{P} \wedge \exists m_1, m_2, m_3 \in \mathbb{N}: m_1^2+m_2^2+m_3^2=n)\\ &= (\forall n \in \mathbb{N}: n \in \mathbb{P}) \wedge (\forall n \in \mathbb{N}: \exists m_1, m_2, m_3 \in \mathbb{N}: m_1^2+m_2^2+m_3^2=n).\end{align*} Alle natürlichen Zahlen sind Primzahlen und alle natürlichen Zahlen sind Summe dreier Quadratzahlen. 3. Wir verwenden die Rechenregel (v) aus Theorem 3.2.22. $$\forall r \in \mathbb{R} >1: (0 < 1) \vee (r^2 < 0)= (0<1) \vee (\forall r \in \mathbb{R} > 1: r^2<0).$$ Es gilt $0<1$ oder für alle reellen Zahlen $r>1$ gilt $r^2<0$. 4. Wir verwenden die Rechenregel (vi) aus Theorem 3.2.22. $$(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}) \wedge (\exists q \in \mathbb{Q}: q^2=2) = \exists q \in \mathbb{Q}: (\sqrt{2} \in \mathbb{Q}) \wedge (q^2=2).$$ Es gibt eine rationale Zahl $q$, für die gilt $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ und $q^2=2$. 5. Wir verwenden die Rechenregel (vii) aus Theorem 3.2.22. $$(\forall n \in \mathbb{N}_+: n^2>1) \Rightarrow (0<1) = \exists n \in \mathbb{N}_+: ((n^2>1) \Rightarrow (0<1)).$$ Es gibt eine positive natürliche Zahl $n$, für die gilt, dass $0<1$, weil $n^2>1$ ist. 6. Wir verwenden die Rechenregel (viii) aus Theorem 3.2.22. $$\forall z \in \mathbb{Z}: ((z^2 > 0) \Rightarrow (1 > 0))=(\exists z \in \mathbb{Z}: (z^2 > 0))\Rightarrow (1 > 0) .$$ Es gibt eine ganze Zahl $z$, für die aus $z^2 > 0$ folgt, dass $1 > 0$. 7. Wir verwenden die Rechenregel (ix) aus Theorem 3.2.22. $$(0<1) \Rightarrow (\forall n \in \mathbb{N}_+: (n^2>0)) = \forall n \in \mathbb{N}_+: ((0<1) \Rightarrow (n^2 >0)).$$ Für alle positiven natürlichen Zahlen $n$ gilt, dass aus $0<1$ folgt, dass $n^2 >0$. 8. Wir verwenden die Rechenregel (viii) aus Theorem 3.2.22. $$\exists p \in \mathbb{P}: (2|p) \Rightarrow (\exists q \in \mathbb{P}:q \in \mathbb{N}_g) =\forall p \in \mathbb{P}: ((2|p) \Rightarrow (p \in \mathbb{N}_g)).$$ Für alle Primzahlen $p$ gilt, dass wenn $2|p$, folgt, dass $p$ eine gerade Zahl ist.