Lösung für Aufgabe 3.2.15
Es seien $p$, $q$ und $r$ beliebige Aussagen. Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien, welche Kontradiktionen?- $((\neg p \vee q) \wedge (q\limplies r)) \limplies (p \limplies q)$,
- $((r \limplies p) \wedge \neg p) \limplies \neg r$,
- $(q \vee (q \limplies p)) \limplies p$,
- $(p\veebar q)\liff(\neg p \liff q)$,
- $((p\limplies q)\wedge \neg q)\liff \neg((\neg p\vee q)\wedge \neg q)$.
1. Tautologie $$\neg((\neg p \vee q) \wedge (q \vee r))\vee (\neg p \vee q)=((p \wedge \neg q) \vee (q \wedge \neg r))\vee (\neg p \vee q)= 1 \vee (q \vee \neg r) = 1.$$ 2. Tautologie \begin{align*} ((r \Rightarrow p) &\wedge \neg p) \Rightarrow \neg r\\ &=\neg ((\neg r \vee p) \wedge \neg p) \vee \neg r\\ &=((r \wedge \neg p) \vee p) \vee \neg r\\ &=((r \vee p) \wedge (\neg p \vee p)) \vee \neg r\\ &=(r \vee p) \vee \neg r\\ &=(r \vee \neg r) \vee (p \vee \neg r)= 1 \vee (p \vee \neg r)=1. \end{align*} 3. Weder noch $$\begin{array}{ccccc} %\hline p & q & q \Rightarrow p = a & q \vee a = b & b \Rightarrow p\\ %\hline\hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ %\hline \\ %\hline\hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ %\hline \\ %\hline\hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ %\hline \\ %\hline\hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ %\hline \end{array}$$ 4. Tautologie $$\begin{array}{ccccc} %\hline p & q & p \xor q = a & \neg p \Leftrightarrow q = b & a \Leftrightarrow b\\ %\hline\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ %\hline \\ %\hline\hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ %\hline \\ %\hline\hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ %\hline \\ %\hline\hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ %\hline \end{array}$$ 5. Kontradiktion \begin{align*} ((p \Rightarrow q) &\wedge \neg q \Leftrightarrow \neg ((\neg p \vee q) \wedge \neg q)\\ &=(\neg p \vee q) \wedge \neg q \Leftrightarrow \neg ((\neg p \vee q) \wedge \neg q)\\ &=(\neg p \wedge \neg q) \vee 0 \Leftrightarrow \neg((\neg p \wedge \neg q) \vee 0)\\ &=\neg p \wedge \neg q \Leftrightarrow 0\\ &=((p \vee q) \wedge 1) \vee (\neg (p \vee q) \wedge 0)=0 \vee 0 = 0. \end{align*}