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Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 4.3 der 1. Auflage

Hier finden Sie jene Aufgaben aus Abschnitt 4.3, deren Nummerierung sich gegenüber der neuesten Auflage geändert hat, sowie deren ausgearbeitete Lösungen.

 


Aufgabe 4.3.25 (Lösung)

Wir betrachten die Abbildungen $f:\{a,b\}\to\{1,2,3\}$ mit $f:a\mapsto 1$ und $f:b\mapsto 3$ und $g:\{1,2,3\}\to\{A,B,C,D\}$ mit $g:1\mapsto C$, $g:2\mapsto D$ und $g:3\mapsto B$. Bestimmen Sie die Verknüpfung $g\o f$.
 


Aufgabe 4.3.26 (Lösung)

Bestimmen Sie die Zusammensetzungen $f\o g$ und $g\o f$ für die jeweils angegebenen Funktionen:
  1. $f,g:\R\to\R$ mit $f(x)=\sin(x)$ und $g(x)=x^{2}$,
  2. $f,g:\Q\to\Q$ mit $f(q)=\tfrac{q}{3}$ und $g(q)=q^{2}-1$,
  3. $f,g:\N\to\N$ mit $f:n\mapsto 3^{n}$ und $g(n)=n^{3}$.
 


Aufgabe 4.3.27 (Lösung)

  1. Gibt es zwei Funktionen $f$ und $g$, die beide nicht bijektiv sind, sodass die Zusammensetzung $f\circ g$ bijektiv ist?
  2. Gibt es zwei Funktionen $f$ und $g$, die beide nicht injektiv sind, sodass die Zusammensetzung $f\circ g$ injektiv ist?
 


Aufgabe 4.3.28 (Lösung)

Zeigen Sie, dass die Verknüpfung von Abbildungen das Assoziativgesetz erfüllt.
 


Aufgabe 4.3.32 (Lösung)

Es sei die Abbildung $f:\{a,b,c\}\to\{1,2,3\}$ gegeben durch $f:a\mapsto 2$, $f:b\mapsto 3$ und $f:c\mapsto 1$. Bestimmen Sie die Umkehrabbildung $f^{-1}$ von $f$.
 


Aufgabe 4.3.33 (Lösung)

Zeigen Sie, dass die Abbildung $$ f:\{1,2,3\}\x\{1,2,3\}\to\{0,\ldots,8\},\quad (n,m)\mapsto 3(n-1)+m-1 $$ bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrabbildung $f^{-1}$.
 


Aufgabe 4.3.36 (Lösung)

In welchen Intervallen sind die folgenden Funktionen $f:\R\to\R$ monoton wachsend bzw. fallend?
  1. $f(x)=x^{2}$,
  2. $f(x)=0$,
  3. $f(x)=4x^{3}+3x^{2}-x+4$,
  4. $f(x)=\cos(x)$,
  5. $f(x)=\tan(x)$.
 


Aufgabe 4.3.37 (Lösung)

Beweisen Sie, dass die Zusammensetzung $f\circ g$ zweier monotoner Funktionen $f$ und $g$ wieder monoton ist. Betrachten Sie dazu alle vier Kombinationsmöglichkeiten ($f$ und $g$ jeweils monoton fallend oder wachsend). Wie verhält es sich genau mit der Richtung der Monotonie, d.h. welche Monotonie erhält man bei Verknüpfung einer wachsenden mit einer fallenden Funktion, etc.?