Beste Francken-leden,
Hier weer een stukje van de theoreet. Deze keer heb ik me suf gedacht over ideeën die zouden passen bij het thema van deze keer en als ik me goed heb laten informeren is het thema "oneindig", en tja, daar is in de natuurkunde veel over te doen. Nu heb ik gemerkt dat er een tendens in mijn stukjes lijkt te zitten; ik lijk wel soms de fundamentele wiskunde aan jullie te willen uitleggen. Op zich leuk - vind ik zelf natuurlijk wel - en een ieder die mij kent zal dat ook typisch iets voor mij vinden, maar voor een technisch-fysisch blad zou een iets andere aanpak soms ook leuk zijn. En dan dus hier mijn verkenning op dit voor mij lastige terrein, hoewel ik natuurlijk dicht bij de (zeer) theoretische natuurkunde zal blijven en ook nog regelmatig wiskundige excursies zal maken; schroomt niet en wijs mij op mijn onkundige stappen. Ik zal natuurlijk wel ervoor zorgen dat ik niet het gras wegmaai voor de voeten van de hoogleraren die de existentie van technische fysica in Groningen mogelijk maken en ook zal ik niet proberen moeilijk te doen over dat waar zij mij zeker weten de weg moeten wijzen, en dus van mij geen uitgebreide stukjes over materiaalkunde en nano-chips die allerlei technische details belichten. Maar nu, te lang gedraald, een aanvang moet gemaakt worden; voor de dag ermee!

GELUKKIG NIEUWJAAR

Hopelijk verschijnt dit volgens Marc Schenkel periodiek verschijnend blad nog op tijd om de groet een beetje toepasselijk te maken, maar op het moment dat ik dit schrijf zit heel Nederland net in de periode om tussen alle pogingen 555 verder te verrijken en zich te verkneukelen over de o zo bijzondere tv-uitzending waarbij geheel beroemd levend Nederland zich van zijn - waar ik om de feministen tevreden te houden een /haar achter moet zetten, maar dat doe ik dus niet, lekker puh (is het nodig te melden dat ik man ben, en dat dit soort kinderachtigheden dus mogen?) - goede kant laat zien en die wel op 3 zenders tegelijk is te bewonderen (wederom al verkneukelend) en zodoende zou een ieder oplettend persoon kunnen reconstrueren dat dit voor Drie Koningen is en dus dat men elkaar nog een gelukkig nieuwjaar mag wensen. De deadline is wel na Drie Koningen, maar dat zie ik wel even door de vingers. Na mijn hopelijk eerste lange en correcte volzin met niet-triviale bijzin-structuur te hebben afgerond, die de redactie vast wel anders wil zien om de begrijpelijkheid te waarborgen, wil ik verdergaan met de wat meer normale rompslomp.
Iedereen heeft vast van mij die grap gehoord en gezien over de gelijkenis tussen het symbool van oneindig en een liggende acht. Dat was ook meteen wel alle humor die ik over 'oneindig' heb gevonden, dus daar wil ik meteen vanaf zijn, en een serieuze boodschap verkondigen. Na wat navraag viel mij op dat erg weinig studenten nog weten dat er twee Nederlanders een paar jaar terug de Nobelprijs hadden gewonnen. En nog erger was dat de meesten niet eens wisten waar het ook alweer om was en wie de twee - inmiddels buiten Nederland errug beroemde - Nobel laureaten ook alweer waren. Vooral de jongerejaars weten het allemaal niet zo meer, daarom nu de start van een mini-cursus (met praktische toepassingen!). De twee heren in kwestie zijn Martinus Veldman - voor vrienden en respectlozen 'Tini' - en Gerard 't Hooft - voor Amerikanen thoeft - en zij kregen de leuke prijs, waarvan je toch al gauw een speedbootje koopt, wat weer niet mag, voor hun baanbrekend werk op het gebied van de renormalizatie van niet-Abelse ijktheorieën. Nu ga ik er niet van uit dat jullie nu meteen weten wat hiermee bedoeld wordt dus een kleine uitleg is op zijn plaats. Eerst maar eens "theorie": het gaat hier om quantumveldentheorieën, dat wil zeggen, je beschrijft een deeltje niet aan de hand van de Schrödinger-vergelijking, maar je maakt eerst een omweg. Deze omweg houdt in dat je eerst zegt dat je deeltje door een 'veld' wordt beschreven en dus overal aanwezig is, min of meer. Dan ga je op elke plek iets als 'gewone' quantummechanica doen, maar dan met het veld. Aan het einde van de dag heb je jezelf verrijkt met het idee dat een deeltje op een plek p in de ruimte en op een tijdstip t wordt gegenereerd (gecreëerd) door een creatie-operator die werkt op de lege ruimte bij p  op het tijdstip t. Door met een andere operator, namelijk de annihilatie-operator het deeltje te slopen (annihileren) en de creatie-operator daarna een stukje verderop te laten werken en ook een klein tijdje later, verhuist het deeltje dus naar een andere plek. Doe je dit een beetje volgens wat gepaste infinitesimaal-argumenten, dan ben je het vast met me eens dat het reizen van een deeltje niks anders is dan het op geschikte plaatsen en tijdstippen laten opereren van operatoren. En een botsing dan? Wat als een nieuw deeltje gemaakt wordt? Gewoon nog een extra creatie-operator erbij, maar dan wel eentje die past bij het deeltje wat je wil. Het leuke is dat deze operatoren best leuke eigenschappen hebben; zo blijkt in dit formalisme impulsbehoud aanwezig te zijn (als je goed kijkt in de boeken hierover zie je dat dat eigenlijk best logisch is), en dus kun je niet zomaar iets doen, de operatoren dwingen je wel om zinnige fysische dingen te doen. Zogenaamde niet-fysische dingen vallen er gewoon weg uit; de operatoren geven dan gewoon nul, ofwel niks, niet mogelijk. Nu is het verhaal nog net ietsje lastiger in de werkelijkheid, in de zin dat het gewoon een lastig sommetje is om dit te laten zien en dat er allemaal haken en ogen aan zitten en dat de interpretatie van het sommetje niet eenduidig is, maar als plaatje voor nu lijkt het me zo verschrikkelijk nog niet. Het grappige is wel dat de operatoren een merkwaardige eigenschap hebben, als een operator ergens een deeltje creëert, dan is de totale golffunctie eindig in de zin dat de golffunctie kwadratisch geïntegreerd een niet-nul getal oplevert, maar, de functie is ook erg goed gelokaliseerd; ofwel, het gaat hier om de delta-functies. Daarom waren ze bij quantummechanica vakken zo belangrijk - en niet alleen maar om hun simpele karakter. En wat is nu de waarde van een delta-functie? Overal nul, behalve bij een enkele plek, daar is die 'oneindig'. De mensen die inmiddels iets meer weten, zullen hier wel denken, "ja, maar ze zijn ook geen functies, het zijn distributies en dan hebben dat soort uitspraken geen betekenis", en dan denk ik weer, "klopt, maar dat is erg beroerd uitleggen, en dan heb ik gewoon een krijtje en een bord nodig". Welnu, deze oneindig gaat later een rol spelen, dus zorg dat je het een beetje onthoudt. Het woord "ijk"; erg lastig uit te leggen. Het idee is dat er een symmetrie is, en dat wil zeggen dat een heleboel dingen redundant voorkomen, omdat ze gewoon equivalent zijn aan iets anders. Vergelijk dit met de makelaar die van een huis waar alle kamers hetzelfde zijn, toch de foto's laat zien van alle kamers; je weet dat er een symmetrie is en dus is de foto van een enkele kamer voldoende. Wat je als lezer eventueel zou kunnen onthouden - let op, hier volgt een "leermoment"! - is dat deze symmetrieën verantwoordelijk zijn voor de interacties tussen deeltjes. Ik weet het, niet te volgen, maar het is gewoon te technisch. Maar "ijk" staat dus voor het aanwezig zijn van een symmetrie in je theorie die verantwoordelijk wordt geacht (en dus ook identiteitsbewijs bij zich moet hebben - meestal U(1)) voor de interactie tussen de deeltjes die jij met je theorie wilt beschrijven aan de hand van die creatie- en annihilatie-operatoren. En dan het woord niet-Abels. Het makkelijkst is om eerst het woord Abels uit te leggen. In de beknopte uitleg van het woord 'ijk' sprak ik over symmetrie. Denk je eens in, wat is symmetrie? Intuïtief gezegd, je hebt een systeem waar je een actie op uit kan voeren en dan blijft het systeem hetzelfde. Nou, het woord Abels slaat op die acties. Als die acties zodanig zijn dat het niet uitmaakt in welke volgorde je die acties uitvoert, dan zijn ze Abels, is dat niet zo, dan zijn ze Abels. Een simpel voorbeeld van niet-Abelse acties zijn rotaties in drie dimensies. Misschien kun je je nog herinneren dat de Pauli-matrices die je in een quantumfysica college zag, niet commuteerden; ze hadden een niet-triviale commutator; nu, dat is precies dezelfde niet-Abelse natuur van rotaties in drie dimensies. De niet-Abelse ijktheorieën beschrijven dus deeltjes en hun interacties in aanwezigheid van een symmetrie, die zodanig is dat de symmetrie-acties niet commuteren. Nu even terug naar het begin van het stukje over theorie. Daar beschreef ik de operatoren die delta-functie-achtige golffuncties maakten. Dat is meestal niet zo'n probleem, zie je quantummechanica colleges, maar als je die delta-functies maakt zoals het in de niet-Abels ijktheorieën gebeurt dan gaat het in eerste instantie mis; als je kansen uitrekent voor processen waarin in tussenstadia deeltjes worden gecreëerd (de normale quantummechanica van de Schrödinger vergelijking kan het ontstaan van deeltjes niet beschrijven) komt er oneindig uit, of soms zelfs min oneindig... zinloos dus. Dus iedereen gaf de hoop op dat dat soort theorieën zinnige fysica kunnen gaan beschrijven, behalve Tini en zijn promovendus Gerard. Zij werkten ermee door en vonden een truc, formeel procedure genoemd, waarmee zij die Zweedse bak met geld in handen konden nemen. Verhip, toch het woord oneindig erin geslopen. Nu snap ik wel dat dit verhaaltje niet te onthouden is zonder de nodige plaatjes en zo, maar mijn standpunt is dat je je hier maar eerst eens zelf in moet verdiepen; ga achter internet, ga naar google en tiep een van bovenstaande kernwoorden in - jaja, ik ga er van uit dat je na je vwo zo'n opdracht geheel zelfstandig kan doen - en lees de leuke linkjes en neem het op. Als natuurkundige mag je best hier iets van afweten, vooral omdat  het hier om Nederlanders gaat. En als het je niet zo interesseert dat je er van alles af wilt weten, onthoud dan de namen van Tini en Gerard en dat ze oneindigheden hebben weggepoetst. Het schokte me een beetje dat de studenten hier niets meer van wisten. Nu weten de meesten van de lezers wel dat ik altijd verbaasd ben over de kwaliteiten van studenten en in het bijzonder in het ontbreken van enige. Daar praat ik verder in de Franckenkamer al voldoende over en dus zal ik me nu inhouden. Meestal ligt het ook niet aan de studenten; het onderwijs is gewoon slecht. Echt heeeel erg slecht. Op de middelbare school is alles al uit het programma gehaald en ik durf te wedden dat de opa's en oma's van nu geen Einsteins zijn. Er zijn een paar experimenten geweest en dat is mis gegaan maar geen enkele politicus durft gezichtsverlies op te lopen en de gedane ontwikkeling enigszins terug te draaien. Maar op de universiteit gaat het ook niet altijd goed... zelfs vaak niet. De hoorcollege docenten geven vaak blijk van weinig interesse. In het eerste jaar allemaal de goede docenten voorgeschoteld, beland je in de hogere jaren en daar heb je af en toe van die mensen die wel voor het eerst lijken les te geven. Vaak goed bedoeld, maar volledig niet geschoold in het onderwijs geven. En dan verliezen studenten hun interesse en worden er zulke slechte tentamens gemaakt dat de eisen weer naar beneden worden. Nu ben ik zelf werkcollege-docent (waar moet het streepje? ik ben van vóór de spellingshervormingen dus dat weet ik weer niet) en wat mij ter ore kwam was het volgende; werkcollege-docenten (indien fout, dan wel consistent fout) komen soms gewoon niet opdagen en vaker nog, ze bereiden niet voor en doen hun dingetje en krassen dan weer op. Vind je het raar dat studenten er ook de kantjes van af lopen? Ik niet meer. Dus dat de studenten de leuke verhalen uit de natuurkunde niet meer weten, zoals het verhaal van Tini en Gerard, is wel begrijpelijk. Door suf onderwijs worden de studenten niet meer geïnteresseerd gemaakt in het vak natuurkunde. Het vak wat ik wel zo leuk vind en waar ik pagina's over vol kan schrijven. Ook over wiskunde. Ook over oneindig. Misschien wel oneindig veel (kleine oefening om dat te ontkrachten, ten hoogste twee simpele premissen nodig). Maar ja, dan moet ik maar een boek schrijven. Ik heb nu weer wat voor de Francken Vrij geschreven en dat moet natuurlijk niet te technisch, nou ja, niet te theoretisch zijn. En ook niet te langdradig, wat een onderwerp als oneindig gewoonweg lijkt te vereisen. Hoewel er natuurlijk altijd een paar korte dingen te vermelden zijn; eentje daarvan is voor natuurkundigen wel grappig. De meeste natuurkundigen denken dat als je een systeem maar goed genoeg benadert, kun je meteen conclusies trekken die nooit ver van de echte waarheden liggen; de zogenaamde approximatie-filosofie. Bijvoorbeeld in de meteorologie; je meet wat waarden van grootheden, neemt wat formules die de waarheid benaderen en gaat dan het weer voorspellen. Dat gaat redelijk vaak mis, maar nog vaker opmerkelijk goed. Eigenlijk wel logisch zegt de natuurkundige; je benadert het systeem heel goed, dan maak je dus kleine fouten en die fouten werken door en zorgen dat na een bepaalde tijd je er ver naast zit, maar in eerste instantie lijkt het er wel op. Deze filosofie zie je overal in de natuurkunde en verbaast mensen als wiskundigen en filosofen wel eens; het is ook een aanname en moet nog getoetst worden. Maar er is een simpel voorbeeld waarin deze filosofie wel mis lijkt te gaan. En hij gaat zelfs in het extreme geval dus; bij een oneindig 'goede benadering'. Neem een vierkant in gedachte en stel dat je van een hoekpunt naar het schuin tegenoverliggende hoekpunt wil. Als het vierkant in een gewone vlakke ruimte is en zijden van lengte 1 heeft, dan is het kortste pad van lengte wortel 2. Maar stel nu dat we een rooster aanleggen, zoals bij een schaakbord, en we gaan het diagonale pad benaderen via het rooster. Wat is het kortste pad over het rooster naar het diagonaal tegenover je liggende punt? 2!!! Je kan de projectie nemen van het pad op de zijden van het vierkant en daar je over twee van die zijden moet, wordt de padlengte 2. En als we dan een heel fijn rooster nemen? Dus we nemen een vierkant opgedeeld in N2 vierkantjes en gaan via het kortste pad schuin oversteken ... helaas, de padlengte wordt nog altijd geminimaliseerd door een pad met lengte 2; ofwel, je had net zo goed langs de zijden van het vierkant kunnen lopen. Maar als je nu N naar oneindig neem? Dan kun je een pad maken wat 'precies' op het pad met lengte wortel 2 lijkt, maar toch nog een factor wortel 2 groter is. Erg raar toch? De benadering gaat hier niet op! Wat is dan het rare in dit geval? Je moet een pad nemen wat een aantal keer differentieerbaar is, dan gaat het wel goed! Op zich niet raar, want via differentieerbaarheid leg je het gedrag op oneindig kleine afstanden vast ... Maar als je dat niet eist van je pad, bestaat er dus geen oneindig goede benadering. In deze geest zijn er wel veel meer leuke dingen over oneindigheden te vinden; zie google (=10100 , groot maar niet oneindig)!  

De theoreet (en werkcollege-docent dus).

Noot acheraf: ik wil natuurlijk niet slechts zeggen over de actie van 555 en de tv-uitzending. Het is wel belangrijk om je ervan bewust te zijn dat het hier om een media-hype gaat, een soorte van macho-gedrag geëncapsuleerd in een praat-programma met bekende Nederlanders wat het ons-gevoel vergroot. Net als dat in de voetbal-douches de piemels van de voetballers vergeleken worden (over de Francken-kamer zwijg ik maar even), zo gaan we nu bedragen vergelijken en ons goed voelen, of juist slecht. En daarin zit een gevaar dus een kritische noot mag wel aanwezig zijn.