Home Page of Roland Steinbauer

• Home
• Research
• Teaching
• Vita

Links

• A new Geometry
• Research Seminar
  
  
  
• IAGF
  
• ISAAC



Book Videos Service Page

• MaThX



• Math Library
• Math Faculty
• Vienna University
• u:space
• u:find
• MCMP
• VSM



• LISA
• Gravitational Physics




• GWUP
  
  
  
• 

LVA Leiter: Roland Steinbauer
LVA Nummer: 250054/250055
LVA Typ: SE
Semesterwochenstunden/ECTS: 2/4
Ort und Zeit: Gruppe 1: Mi. 11.05-12.35 SR 12 (OMP 1); Gruppe 2: Mi. 14.30-16.00 SR 10 (OMP 1)
Beginn: Mi. 1.10.2010 (Vorbesprechung)
Materialien: Vorträge und Unterlagen

Allgemeines: Die Geometrie ist jenes Teilgebiet der Mathematik, dass sich mit Fragen der Form, Größe und Position von Figuren und den Eigenschaften des Raumes beschäftigt. Sie ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. In den orientalischen Hochkulturen des 5.--3. Jahrhunderts vor unserer Zeitrechnung wurde sie zur Lösung praktischer Probleme der Baukunst, Astronomie und Navigation verwendet und in Form von festen, nicht weiter begründeten Regeln weitergegeben. Dies änderte sich im antiken Griechenland radikal. Nützlichkeitsaspekte traten gegenüber der Suche nach Verständnis in den Hintergrund und die Geometrie wurde axiomatisch aufgebaut. In seinem Haupwerk Die Elemente legte Euklid ca. 300 v.Chr. den methodischen Grundstein der gesamten Mathematik: Einige intuitiv einsichtige Aussagen werden als Grundannahmen (Axiome) aufgestellt und alle weiteren Aussagen (mathematische Sätze) werden daraus durch logische Schlussfolgerungen (Beweise) abgeleitet. Über die Jahrhunderte weckte insbesondere Euklids Parallelenaxiom (auch Postulat V) besonderes Interesse: Für jede Gerade (in der Ebene) und jeden Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es genau eine Gerade durch den Punkt, die die gegebe Gerade nicht schneidet. Dieses Axiom stieß besonders deswegen auf Mißtrauen, da es weniger intuitiv als die anderen Axiome ist und zahlreiche Mathematiker (u.a. Archimedes, Ptolemäus, John Wallis, Adrien-Marie Legendre) versuchten zu beweisen, dass es kein eigenständiges Axiom ist, sondern aus den anderen Axiomen folgt. Carl Friedrich Gauss war der Erste, der die Eigenständigkeit von Postulat V erkannte, behielt sein Wissen aber für sich. So lag es an Nikolai Lobatschewski und unabhäig davon Janos Bolyai um ca. 1830 sogenannte nichteuklidische Geometrien zu entdecken, also Geometrien in denen das Parallelenaxiom nicht gütig ist. In moderner Terminologie erhalten wir durch ersetzten von ,,genau einer Geraden'' in Postulat V durch ,,keine'' bzw. ,,mindestens zwei'' sphärische bzw. hyperbolische Geometrien. Eine andere Entwicklung in der Geometrie ist die verstärkte Verwendung analytischer Methoden anstatt konstruktiver (synthetischer) Methoden die seit der Mitte des 19. Jahrhunderts stattgefunden hat und die schließlich zur Entwicklung der Differentialgeometrie führte. Insbesondere sind hier die Arbeiten von Gauss über die intrinsiche Geometrie von Flächen zu nennen und die Arbeiten von Bernhard Riemann, der dem Begriff der Krümmung von Flächen seine moderne Formulierung gab.

Inhalt: In diesem Seminar werden wir im Rahmen der elementaren Differentialgeometrie einigen der oben skizzierten Entwicklungen nachspüren und uns mit einigen Grundbegriffen der modernen Differentialgeometrie, insbesondere dem Begriff der Krümmung beschäftigen. Hier bedeutet ,,elementar'' nicht etwa, dass es sich um besonders einfache Sachverhalte handelt, sondern, dass diese ohne Verwendung des umfassenden formalen Begriffsappartats der Differentialgeometrie (Mannigfaltigkeiten, Bündel, Schnitte, etc.) beschrieben werden. So werden wir uns nach einem kurzen motivierenden Ausflug in die sphärische Geometrie und eventuell einer kurzen Darstellung der euklidischen Geometrie der klassichen Theorie der Kurven und Flächen zuwenden. Unsere Hauptquelle ist das Buch Elementare Differentialgeometrie von Christian Bär.

Modus: Die Lehrveranstaltung findet im "echten Seminarstil" statt, d.h. die Studierenden tragen in selbst gestalteten Referaten den Stoff vor. Jede/r Studierende (bei großer TeilnehmerInnenzahl sind auch Zweiergruppen möglich) übernimmt jeweils einen Abschnitt des Buchs und bereitet mit Unterstützung des Seminarleiters den Vortrag vor: in einer Vorbesprechung werden inhaltliche/mathematische Aspekte geklärt und auch Fragen der Präsentationstechnik und "Vortragskultur" angesprochen. Nach dem Vortag erhält jede/r Studierende ein detailliertes Feedback. Eine Abschlussprüfung ist nicht vorgesehen. Kriterien für die Benotung sind neben dem eigenen Vortrag vor allem die Mitarbeit und Diksussionsbeiträge zu Vorträgen der anderen TeilnehmerInnen. Eventuell (wiederum abhängig von der TeilnehmerInnenzahl) werden einzelne Kapitel während des Seminars gemeinsam gelesen und durchgearbeitet.

Ziel: Die Studierenden erlernen den eigenständigen Umgang mit einem mathematischen Text: Die Inhalte werden selbständig erarbeitet und strukturiert, um sie schließlich in fachgerechter Form zu präsentieren und zu kommunizieren.

Notwendige Vorkenntnisse sind die Inhalte der Vorlesungszyklen "Analysis" und "Linear Algebra und Geometrie" aus dem ersten Studienabschnitt. Dabei können bei Bedarf fortgeschrittenere Inhalte insbesondere aus der mehrdimensionalen Analysis an Ort und Stelle wiederholt werden. Grundlegende Kenntnisse aus den gewöhnlichen Differentialgleichungen sind sicher nützlich aber nicht unbedingt erforderlich.

Zielpublikum: Lehramtsstudierende der Mathematik mit Freude am Thema und Spaß am eigenständigen Arbeiten.

Administratives/Anmeldung/TeilnehmerInnenbeschränkung: Das Seminar findet in zwei Parallelgruppen (Mi. 11.05-12.35 bzw. 14.30-16.00) statt. Unabhängig von der Gruppe kann je nach individuellem Wunsch entweder ein Zeugnis "Seminar für LAK: Analysis" oder ein Zeugnis "Seminar für LAK: Angewandte Mathematik" erworben werden.

Aufgrund des Seminarmodus ist die Anzahl der TeilnehmerInnen pro Gruppe auf max. (2 x Anzahl der Vortragstermine = ) 24 beschränkt. Die Anmeldung zum Seminar erfolgt (in Übereistimmung mit den einschlägigen Empfehlungen der STUKO) ausschließich im Zeitfenster 1.--15.September mit folgendem Formular (wird rechtzeitig freigeschaltet). Bei mehr als 24 Anmeldungen je Gruppe erfolgt die Auswahl der TeilnehmerInnen durch den Seminarleiter aufgrund der im Formular übermittelten Daten. Der Zeitpunkt des Einlangens von Anmeldungen innerhalb des Anmeldezeitraumes ist dabei irrelevant. Eine Rückmeldung, welche Studierenden aufgenommen wurden erfolgt bis spätestens 30. September. Nicht aufgenommene Studierende kommen auf eine gereihte Warteliste, aus denen durch Nachrücken eine eventuelle Restplatzvergabe erfolgt. Achtung: Die Teinhame am ersten Termin (1.10. = Vorbesprechung) ist verpflichtend! Eine Nichtteilnahme führt automatisch zum Verlust des Seminarplatzes.

Fortsetzung/Diplomarbeiten: Es besteht die Möglichkeit zu Themen rund um das Seminar bzw. zu daran anschließend Themen (fachmathematische Lehramts-)Diplomarbeiten unter der Betreeung des Seminarleiters zu verfassen. In diesem Zusammenhang ist für das kommende Sommersemester ein weiterführendes Seminar (wiederum wahlweise Analysis/Angewandte Mathematik) geplant.