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Seminar für LAK: Die Geometrie von Kurven und Flächen
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Seminar für LAK (Analysis):
Die Geometrie von Kurven und Fächen
LVA Leiter: Roland Steinbauer
LVA Nummer: 250043
LVA Typ: SE
Semesterwochenstunden: 2
Ort und Zeit: Mi. 17:00--18:30 C2.07 (UZA 4)
Beginn: 5.10.2010 (Vorbesprechung)
Neuigkeiten:
2011-11-21: Die Handouts der Vorträge finden sich (laufend aktualisiert)
auf der Materialienseite.
2011-10-22: Liste der Seminartermine online. Handout des ersten Vortrags zum download.
Allgemeines: Die Geometrie ist jenes Teilgebiet der Mathematik, dass sich mit Fragen der Form, Größe und Position von Figuren und den
Eigenschaften des Raumes beschäftigt. Sie ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. In den orientalischen Hochkulturen
des 5.--3. Jahrhunderts vor unserer Zeitrechnung wurde sie zur Lösung praktischer Probleme der Baukunst, Astronomie und Navigation verwendet
und in Form von festen, nicht weiter begründeten Regeln weitergegeben. Dies änderte sich im antiken Griechenland radikal.
Nützlichkeitsaspekte traten gegenüber der Suche nach Verständnis in den Hintergrund und die Geometrie wurde axiomatisch aufgebaut.
In seinem Haupwerk Die Elemente legte Euklid
ca. 300 v.Chr. den methodischen Grundstein der gesamten Mathematik: Einige intuitiv einsichtige Aussagen werden als Grundannahmen (Axiome)
aufgestellt und alle weiteren Aussagen (mathematische Sätze) werden daraus durch logische Schlussfolgerungen (Beweise) abgeleitet.
Über die Jahrhunderte weckte insbesondere Euklids Parallelenaxiom (auch Postulat V) besonderes Interesse:
Für jede Gerade (in der Ebene) und jeden Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es genau eine Gerade
durch den Punkt die die gegebe Gerade nicht schneidet. Dieses Axiom stieß besonders deswegen auf Mißtrauen, da es
weniger intuitiv als die anderen Axiome ist und zahlreiche Mathematiker (u.a. Archimedes, Ptolemäus, John Wallis, Adrien-Marie Legendre)
versuchten zu beweisen, dass es kein eigenständiges Axiom ist, sondern aus den anderen Axiomen folgt. Carl Friedrich Gauss war der Erste, der die
Eigenständigkeit von Postulat V erkannte, behielt sein Wissen aber für sich. So lag es an Nikolai Lobatschewski und unabhäig davon
Janos Bolyai um ca. 1830 sogenannte nichteuklidische Geometrien zu entdecken, also Geometrien in denen das Parallelenaxiom nicht gütig ist.
In moderner Terminologie erhalten wir durch ersetzten von ,,genau einer Geraden'' in Postulat V durch ,,keine'' bzw. ,,mindestens zwei''
sphärische bzw. hyperbolische Geometrien.
Eine andere Entwicklung in der Geometrie ist die verstärkte Verwendung analytischer Methoden anstatt konstruktiver (synthetischer)
Methoden die seit der Mitte des 19. Jahrhunderts stattgefunden hat und die schließlich zur Entwicklung der Differentialgeometrie
führte. Insbesondere sind hier die Arbeiten von Gauss über die intrinsiche Geometrie von Flächen zu nennen und die Arbeiten
von Bernhard Riemann, der dem Begriff der Krümmung von Flächen seine moderne Formulierung gab.
Inhalt: In diesem Seminar werden wir im Rahmen der elementaren Differentialgeometrie einigen der oben skizzierten Entwicklungen
nachspüren und uns mit einigen Grundbegriffen der modernen Differentialgeometrie, insbesondere dem Begriff der Krümmung
beschäftigen. Hier bedeutet ,,elementar'' nicht etwa, dass es sich um besonders einfache Sachverhalte handelt, sondern, dass diese ohne
Verwendung des umfassenden formalen Begriffsappartats der Differentialgeometrie (Mannigfaltigkeiten, Bündel, Schnitte, etc.) beschrieben werden.
So werden wir uns nach einem kurzen motivierenden Ausflug in die sphärische Geometrie und einer kurzen Darstellung
der euklidischen Geometrie der klassichen Theorie der Kurven und Flächen zuwenden. Unsere Hauptquelle ist das
Buch Elementare Differentialgeometrie
von Christian Bär. Für einige Aspekte werden wir auch das Buch Geometry from a
differentiable viewpoint von John McCleary heranziehen.
Modus: Die Lehrveranstaltung findet im "echten Seminarstil" statt, d.h. die Studierenden tragen in selbst gestalteten Referaten den Stoff vor.
Jede/r Studierende (bei großer TeilnehmerInnenzahl sind auch Zweiergruppen möglich) übernimmt jeweils einen Abschnitt des Buchs und
bereitet mit Unterstützung des Seminarleiters den Vortrag vor: in einer Vorbesprechung werden inhaltliche/mathematische Aspekte geklärt und auch Fragen
der Präsentationstechnik und "Vortragskultur" angesprochen. Nach dem Vortag erhält jede/r Studierende ein detailliertes Feedback.
Eine Abschlussprüfung ist nicht vorgesehen. Eventuell (wiederum abhängig von der TeilnehmerInnenzahl) werden einzelne Kapitel während des
Seminars gemeinsam gelesen und durchgearbeitet.
Ziel: Die Studierenden erlernen den eigenständigen Umgang mit einem mathematischen Text: Die Inhalte werden selbständig erarbeitet
und strukturiert, um sie schließlich in fachgerechter Form zu präsentieren und zu kommunizieren.
Notwendige Vorkenntnisse sind die Inhalte der Vorlesungszyklen "Analysis" und "Linear Algebra und Geometrie"
aus dem ersten Studienabschnitt. Dabei können bei Bedarf fortgeschrittenere Inhalte insbesondere aus der mehrdimensionalen
Analysis an Ort und Stelle wiederholt werden. Grundlegende Kenntnisse aus den gewöhnlichen Differentialgleichungen sind
sicher nützlich aber nicht unbedingt erforderlich.
Zielpublikum: Lehramtsstudierende der Mathematik mit Freude am Thema und Spaß am eigenständigen Arbeiten.
Anmeldung/TeilnehmerInnenbeschränkung: Aufgrund des Seminarmodus
ist die Anzahl der TeilnehmerInnen auf max. (2 x Anzahl der Vortragstermine = )
22 berschränkt. Bei größerem Andrang gehen wir nach folgendem
Modus vor: Bei der Vorbesprechung werden unter den, zu diesem
Zeitpunkt tatsächlich interessierten Studierenden die Plätze auf konsensualem
Wege vergeben, wobei diejenigen (8) Studierenden, die letztes Sommersemester
nicht zum Zug gekommen sind bevorzugt werden. (Diese Methode hat bisher immer sehr
gut funktioniert.) Daher ist die Teinhame an der Vorbesprechung verpflichtend! Anmeldungen
per e-mail können nicht entgegengenommen werden.