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Partielle Differentialgleichungen




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Partielle Differentialgleichungen

LVA Nummer: 250026
LVA Typ: VO
Semesterwochenstunden/ETCS: 3/5
Ort und Zeit: Mo 13:15-14:45 Hs. 2, UZA2; Do 13:15-14:45 Hs. 1, UZA2
Beginn: 4.3.2010

Neuigkeiten:
2011-03-30 Achtung: Auch ab Mai 2011 stehen mündliche Termine nur nur in beschränktem Ausmaß zur Verfügung. Schriftliche Termine werden regelmäßig angeboten.
2011-02-04: Der nächste schriftliche Prüfungstermin ist am

Die Angabe des 3. Termins zum download, der 4. Termin ist mangels InteressentInnen entfallen.
2010-09-30: Bis auf weiteres sind mündliche Prüfungen nur in dingenden Ausnahmefällen möglich!
Die nächsten schriftlichen Prüfungstermine sind Die Angaben der ersten beiden Termine zum download: 1. Termin, 2. Termin
2010-08-23: 2. schriftlicher Prüfungstermin: Do. 30.9. 14-16, Hs. 3
2010-07-05: Endgültige Version der Prüfungsinformation online.
2010-06-21: Die Kopiervorlagen für Kapitel 3 und 4 sind vor meiner Bürotüre ausgehängt. Die Kopiervorlage für die gesamte Vorlesung ist auch in der Stv Mathematik erhältlich
2010-06-13: Korrektur in der Kopiervorlage zu Kapitel 2. In Abschnitt 2.4.2 sind die Items falsch nummeriert und müssen wie folgt umbenannt werden: 2.121->2.124A, 2.122->2.124B, 2.123->2.124C, 2.124-2.124D.
2010-05-21: Die Kopiervorlage für Kapitel 1 und 2 ist vor meiner Bürotüre ausgehängt.
2010-03-07: Wie in der VO angekündigt, gibt es eine Zusammenstellung einiger in der Vorlesung benötigter Fakten aus der Integrationstheorie aus dem Stoff der "Analysis 3" bzw. "höheren Analysis und elementaren Differentialgeometrie" zum Download.
2010-03-04: Aufgabensammlung für die Übungen zum Download


Allgemeines: Partielle Differentialgleichungen (PDG) treten in einer Vielzahl von Wissenschaftsdiziplinen auf: Sie sind die Grundlage der Modellierung und Beschreibung von Naturphänomenen. Daher hat das Bemühen nach einem Verständnis von PDG und vor allem ihrer Lösungen schon lange eine zentrale Bedeutung in der Mathematik. Wie etwa Algebra, Analysis und Topologie sind PDG daher ein Kernbereich der Mathematik und haben so unterschiedliche Gebiete wie etwa Funktionalanalysis, Funktionentheorie und algebraische Topologie inspiriert.

Laut ihrer Definition ist eine PDG eine Gleichung für eine unbekannte Funktion u, die von zwei oder mehreren Variablen abhängt und die gewisse partielle Ableitungen von u beinhaltet. Noch formaler ist eine PDG ein Ausdruck der Form
F(D^k u(x), D^(k-1) u(x),...,Du(x),u(x),x)=0,

wobei k eine natürliche Zahl (die Ordnung der PDG) ist, D^l u die partiellen Ableitungen der Ordnung l bezeichnet, n>=2 ist und F:R^n^k x R^n^(k-1) x ... x R^n x R x U -> R eine gegebene Funktion. Die gesuchte Unbekannte ist hier eine Funktion u:U -> R, mit U einer offenen Teilmenge des R^n. Einfache Beispiele sind etwa die Laplacegleichung in zwei Dimensionen u_xx+u_yy=0 oder die Wellengleichung in einer Raumdimension u_tt-u_xx=0, aber etwa auch die Korteweg-de Vries Gleichung u_t+uu_x+u_xxx=0.

Ziel der Theorie der PDG ist es nun eine gegebene Gleichung zu "lösen". In den meisten Fällen kann aber keine Rede davon sein, eine Lösung explizite anzugegeben. In dieser Situation ist es daher zunächst die Aufgabe der MathematikerInnen, die Lösbarkeit der Gleichung zu zeigen, d.h. zu beweisen, dass (in einem passenden Funktionenraum) Lösungen existieren. Besser noch ist es, wenn diese Lösungen unter der zusätzlichen Annhame von Rand- oder Anfangsbedingungen eindeutig sind und wenn sie (in einem geeigneteten Sinn) stetig von den "Daten" der Gleichung, also von F und den Rand- bzw. Anfangsbedingungen abhängen --- letzteres ist natürlich vom Standpunkt der AnwenderInnen der entscheidende Punkt! Man spricht dann von einem wohlgestellten (engl: well-posed) Problem. Noch besser ist es natürlich, möglichst viele Eigenschaften der Lösung zu bestimmen, wie etwa Langzeitverhalten, Asymptotik, etc.

Angesichts der Vielzahl der von PDG beschriebenen Phänomene ist es nicht verwunderlich, dass es keine einheitliche Theorie aller PDG gibt. Zwar ist eine derartige Theorie für lineare PDG, also solche Gleichungen, in die die Unbekannte und ihre partiellen Ableitungen "nur" linear eingehen, weitgehend entwickelt (L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, vol 1--4, 2nd ed., Springer, New York, 1990--94). Für nichtlineare Gleichungen ist eine solche jedoch außer Reichweite. Stattdessen werden verschiedene Klassen von PDG unter verschiedenen Aspekten studiert.

Inhalt: Diese Vorlesung bietet eine erste Einführung in die Welt der PDG und folgt einem "elementaren" Aufbau, d.h. sie kommt weitgehend ohne Verwendung der Funktionalanalysis und gänzlich ohne Verwendung der Distributionentheorie aus. Wir beschränken uns nicht auf die klassischen (linearen!) Gleichungen, sondern schnuppern möglichst früh ins "Nichtlineare" hinein. Wir folgen weitgehend dem Buch L. Evans, Partial Differential Equations, AMS, vol. 19 of Graduate Studies in Mathematics, Providence, RI, 1998 und studieren im wesentlichen dessen "Part I". Etwas genauer sind die Inhalte:
Vorwissen: Grundlage zum Verständnis der Vorlesung ist das solide Beherrschen der Inhalte des Analysiszyklus. Ebenso werden die Inhalte der Vorlesung "Grundbegriffe der Topologie" vorausgesetzt. Außerdem werden Sie sich sicher leichter zurechtfinden, falls sie bereits die "gewöhnlichen Differentialgleichungen" besucht haben.

Zielpublikum: Bachelorstudierende der Mathematik im 6. Semester, Diplomstudierende der Mathematik im 2. Abschnitt, aber auch Studierende der (theoretischen) Physik, die einen Blick hinter die Kulissen riskieren wollen.

Positionierung im Studienplan: Bachelorstudium Mathematik, Alternative Pflichtmodulgruppe "Vorbereitung auf wissenschaftliche Arbeit", Pflichtmodul Differentialgleichungen (DGL); Diplomstudium Mathematik, 2 Studienabschnitt, Studienschwerpunkt Analysis.

Bemerkung: Die Vorlesung findet teilgeblockt statt. Gewöhnlich finden pro Woche zwei Einheiten zu 90 Minuten, also das Äquivalent von 4 Semesterwochenstunden statt. Im Gegenzug entfällt die Vorlesung fallweise nach (entsprechend rechtzeitiger) Ankündigung.

Prüfungen: zunächst schriftlich, Ende Juni/Anfang Juli. Genaueres zum Prüfungsstoff und zu Prüfungsterminen wird in der VO bekanntgegeben.

Fortsetzung: Achtung insbesondere für Diplomstudierende: Ich biete im WS2010 dezitiert keine Fortsetzung an!

Übungen: Die Vorlesung wird von einer 1-stündigen Übung begleitet, die Michael Kunzinger leitet und die Do. 12:15--13.00 im Seminarraum D1.07 (UZA 4) stattfindet. In ihr laufen all jene Teile des Lernprozesses ab, die im Rahmen einer Vorlesung nicht effektiv erfolgen können. Ein wirkliches Verständnis der einschlägigen Begriffe und Konzepte entsteht vorwiegend auf Basis beider Veranstaltungen. Bei entsprechend starkem Interesse kann nach Zustimmung des SPL eine zweite Übungsgruppe eingerichtet werden und zwar Mo. 12:15--13:00, Hs. 1 (UZA 2).

Die Übungen beginnen am 11.3., die Anmeldung erfolgt in der ersten Vorlesung am 4.3.