Distributionentheorie
Distributionentheorie
Vortragende: Günther Hörmann, Roland Steinbauer
Lehrveranstaltungsnummer: 250067
Lehrveranstaltungstyp: VO
Stundenzahl: 4
Zeit und Ort: Mo 13:15-14:45 Seminarraum 2A310, UZA 2,
Mi 14:30-16:00 Seminarraum C2.07, UZA 4
Beginn: 2.3.2009
Neuigkeiten:
- 2009-07-10: Eine vorläufige Version des Skripts zur Vorlesung gibt es
hier. (Kapitel 0 und 7 sind noch nicht inkludiert.
Ebenso fehlen einige der Beweise, die in der Vorlesung ausgelassen wurden und
auch einige Items, die wir noch umgestalten wollen. Kommentare willkommen!)
- 2009-06-30: Skript zur Vorlesung:
Eine vorläufige Version des Skripts zur Vorlesung gibt es ab Mitte Juli
hier zum download. Davor Ausdrucke auf Anfrage.
- 2009-06-29: Prüfungsinformationen
Zu folgenden Zeiten sind keine Prüfungen möglich:
13.--31.7., 26.8.--7.9. und 14.9--28.9.
Beweise, die nicht im Detail gekonnt werden müssen:
1.21, 1.22, 1.33, 1.47-50, 1.56, 1.60, 1.62, 1.66, 1.69;
2.26, 2.31;
3.2, 3.4, 3.7, 3.9, 3.16;
4.5(i), 4.9-11, 4.15, 4.18, 4.22, 4.23;
5.3, 5.8, 5.10, 5.14, 5.17, 5.31, 5.38, 5.39;
6.6, 6.13, 6.28; alle Beweise in Kap. 7(=8, "Fundamentallösungen").
Zur Terminvereinbarung bitte mit dem gewünschten Prüfer per E-Mail
Kontakt aufnehmen, also entweder
mailto:guenther.hoermann@univie.ac.at oder mailto:roland.steinbauer@univie.ac.at.
Allgemeines:
Die Theorie der Distributionen---oft auch verallgemeinerte Funktionen
genannt---ist eine Erweiterung der klassischen Analysis, die Mitte des
20. Jahrhunderts vor allem von Laurent Schwartz und Sergei Sobolev
entwickelt wurde.
In der Physik und den Ingenieurwissenschaften waren verallgemeinerte
Funktionen-Ideen in mehr oder weniger vager und exakter Form schon
lange und weit verbreitet (Kirchhoff 1882, Heaviside 1898, Dirac 1926) aber
erst die elegante (funktionalanalytische) Formulierung von Laurent Schwartz
(um 1945) brachte den ganz großen Erfolg. Binnen kürzester Zeit nahm die
Theorie der Distributionen sowohl innerhalb der Funktionalanalysis, als auch
in Anwendungen (partielle Differentialgleichungen, theoretische Physik) einen
zentralen Platz ein.
Die Grundidee dieser Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs ist es,
statt der ''klassischen'' Zuordnung ${\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)$
die Zuordnung $\varphi \mapsto \int f(x) \varphi(x) dx$ zu betrachten, wobei
$\varphi$ Element eines geeigneten Funktionenraums $\cal{D}$ ist;
verallgemeinerte Funktionen sind also lineare, (stetige) Funktionale
auf ${\cal D}$. Dieser Begriffsrahmen ist besonders gut
geeignet, um für (klassisch)
nichtdifferenzierbare oder sogar unstetige Funktionen (etwa die
Heaviside'sche Sprungfunktion oder die Dirac'sche Deltafunktion) einen
Ableitungsbegriff zu entwickeln und eine reichhaltige Theorie
verallgemeinerter Funktionen zu ermöglichen.
Obwohl die größte Triebkraft hinter der Entwicklung der Distributionentheore
der Wunsch nach einer Erweiterung von Lösungskonzepten für partielle
Differentialgleichungen (schwache Lösungen, Fundamentallösungen)
war, erreichten die revolutionären Einwirkungen auf die Analysis von
(linearen) partiellen Differentialoperatoren insbesondere durch L. Hörmander
(seit Mitte der 1950er Jahre) unvorhergesehene Ausmaße.
Inhalt: In der Vorlesung wird die Theorie der Distributionen auf
''elementarem'' Niveau (also ohne Zugrundelegung der Theorie lokalkonvexer
Vektorräume) entwickelt---gemäß der Rolle der Distributionentheorie als
"analytische Technologie".
Als Hauptreferenz wird uns das Buch von F.G.
Friedlander und M. Joshi ("Introduction to the Theory of Distributions",
2nd Edition, Cambridge Universtiy Press, 1998) dienen.
Die Kerninhalte der Vorlesung sind
- Testfunktionen und Distributionen
- Differentialoperatoren
- Faltung, Fundamentallösungen
- Temperierte Distributionen, Fourier Transformation, Sobolev Räume
- Regularität
Literatur: Eine kommentierte Literaturliste befindet sich
hier.
Bemerkung: Diese Vorlesung bietet
einen Einstieg in das Arbeitsgebiet der Forschungsgruppe
DiANA
und kann so als Vorbereitung auf eine Diplom- oder Masterarbeit innerhalb
der Gruppe dienen.
Voraussetzung zum erfolgreichen Besuch der Lehrveranstaltung
sind vor allem solide Analysis-Kenntnisse etwa im Umfang der
Grundvorlesungen Analysis bzw. Analysis für Physik 1,2. Der
Besuch der Vorlesung ist daher schon ab dem 4. Semseter möglich.
Etwas Toplogie ist wünschenswert aber nicht unbedingt erforderlich.
Querbezüge zur Funktionalanalysis (lokalkonvexe Vektorräume) werden
je nach Publikumswunsch und Vorbildung der TeilnehmerInnen
mehr oder weniger eingebracht. Wer Kenntnisse aus partiellen
Differentialgleichungen oder der theoretischen Physik mitbringt,
wird die Anwendungsaspekte der Vorlesung mehr zu genießen wissen.
Zielpublikum: Diplom- und Masterstudierende der Mathematik und
insbesondere auch der (theoretischen) Physik; alle die Lust und Interesse
am Thema haben---etwa Lehramtsstudierende der Mathematik.
Positionierung im Studienplan:
Masterstudium Mathematik, Studienschwerpunkt Analysis, Code MANV,
Diplomstudium Mathematik, 2. Abschnitt, Studienschwerpunkt Analysis.
Prüfungen: mündlich; individuelle Terminvereinbarung.
Zur Einstimmung finden Sie
hier
einen kleinen einschlägigen Text.