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Gewöhnliche Differentialgleichungen 1

Lehrveranstaltungsnummer: 803408
Lehrveranstaltungstyp: VO
Stundenzahl: 2
Zeit und Ort: Mo, Di 10:15-11:00, UZA2 Geozentrum, Hs. 2
Beginn: 1.3.2005


Allgemeines: Was auch immer Sie modellieren wollen, ob in der Physik, der Biologie, der Technik, oder den Wirtschaftswissenschaften, sehr oft wird das Modell die Veränderung einer Größe in Abhängigkeit von eben dieser Größe selbst (und eventuell auch noch anderen Größen) beschreiben. Solche Modellierungen führen auf Differentialgleichungen, also Gleichungen zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen; unter gewöhnlichen Differentialgleichungen verstehen wir solche, wo die gesuchte Funktion nur von einer Variablen abhängt, also wir es "nur" mit ihren ("gewöhnlichen") Ableitungen zu tun bekommen---und nicht etwa mit den partiellen Ableitungen einer Funktion in mehreren Veränderlichen. [Letzteres würde uns in die Welt partiellen Differentialgleichungen führen, eines der wichtigsten Gebiete der angewandten Mathematik, aber das ist eine andere Geschichte...]

Inhalt: Ziel der Untersuchung von Differentialgleichungen ist es, so viel wie möglich über die Lösung(en) einer Gleichung (oder ganzer Typen von Gleichungen) heraus zu finden, also über jene Funktion(en), die die gegebene Beziehung zwischen Funktion und Ableitungen erfüllt. Während früher der Fokus auf das explizite Finden ("Ausrechnen") von Lösungen spezieller (Typen von) Gleichungen gelegt wurde, beginnt die moderne Sichtweise bei der Erkenntnis, das dieses explizite Lösen bei der überwigenden Mehrzahl der Gleichungen ohnehin nicht möglich ist; stattdesssen wird das qualitative Verhalten der Lösungen studiert, ohne diese explizit zu kennen---ja kennen zu müssen. Wichtig dabei ist es allerdings zu wissen, dass eine Lösung überhaupt existiert und dass diese eindeutig ist. Das ist zum Glück lokal fast immer so, wie uns die klassische Existentztheorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen lehrt.
Dementsprechend werden wir uns in der Vorlesung nach einer Einführung, in der anhand von Beispielen die grundlegenden Probleme, Begriffe und Methoden aufgezeigt werden und nach einem gründlichen Studium der Existenztheorie (Existenzsatz von Picard-Lindelöf, Stetige Abhängigkeit von den Daten, Fortsetzbarkeit von Lösungen, Fluss einer Differentialgleichung) auf die Anfänge der Qualitativen Theorie der gewöhnlichen Differentilagleichungen stürzen. Insbesondere werden wir 2-dimensionale Systeme linearer Differentialgleichungen studieren.

Literatur: Trotz intensiver Suche ist es mir nicht gelungen ein "Lieblingsbuch" zu finden, nachdem ich die gesamte Vorlesung gestalten wollte. Stattdessen schöpfe ich aus verschiedenen Quellen, die ich in einer kommentierten Literaturliste zusammengestellt habe.

Ziele: Neben den unmittelbaren inhaltlichen Zielen der LVA ist es mir wichtig, den "angewandten Charakter" des Gebiets heraus zu streichen und ein adequates Bild der Angewandten Mathematik zu vermitteln sowie ihr Interesse an analytischen Fragestellungen und ihren Anwendungen zu wecken. Schließlich möchte ich Sie gleichermaßen gut auf weiterführende Lehrveranstaltungen der Studienschwerpunkte "Analysis", "Biomathematik" und "Angewandte Mathematik" vorbereiten.

Voraussetzung zum erfolgreichen Besuch der Lehrveranstaltung sind die Kenntnis der Grundvorlesungen Analysis 1-3 und Lineare Algebra 1-2, etwas Topologie ist stellenweise sicherlich von Vorteil und---da diese Vorlesung im Studienverlauf die erste "angewandte" LVA ist---die Bereitschaft sich ein bißchen auf Modellierungen und Anwendungszusammenhänge ein zu lassen.

Zielpublikum: Prinzipiell alle, die am Thema Interesse und Freude haben, insbesondere Diplomstudierende der Mathematik und/oder der Physik, sowie Lehramtsstudierende dieser beiden Studienrichtungen.

Positionierung im Studienplan: Pflichtfach im ersten Abschnitt des Diplomstudiums Mathematik.

Materialien

• Skriptum/Vorbereitung: Ich stelle meine (handschriftliche) Vorlesungsvorbereitung---quasi als Skriptum---kapitelweise jeweils im Nachinein zum Kopieren zur Verfügung; die Kopiervorlage befindet sich an der Pinwand neben meiner Zimmertüre (C 508).
  
  
• Mathematica-Notebook: ode_vo.nb

Prüfungen

Das Proseminar bildet mit der dazugehörigen Vorlesung eine untrennbare Einheit: Der behandelte Stoff ist identisch, es werden bloss die beiden jeweils passenden Teile des Lernprozesses in der Vorlesung bzw. im Proseminar ablaufen. Ein Verständnis der einschlägigen Begriffe kann daher nur auf der Basis beider Veranstaltungen entstehen.

Proseminare dienen ganz allgemein der eigenständigen Erarbeitung und Vertiefung des Stoffes. Dies wollen wir (Michael Kunzinger und R.S.) dadurch erreichen, dass Sie selbständig die Aufgaben der Aufgabensammlung lösen und im Proseminar vortragen und diskutieren. Um dies angesichts der zu erwartenden HörerInnezahl in effektiver Weise bewerkstelligen zu können, bieten wir zwei Gruppen an.

Gruppe 1, Di 18:00-18:45 Geozentrum, Hs. 1 (Roland Steinbauer)
Gruppe 2, Mi 12:15-13:00 Geozentrum, Hs. 2 (Michael Kunzinger)