Die Theorie der Distributionen (verallgemeinterter Funktionen) ist eine
Erweiterung der klassischen Analysis, die Mitte des 20. Jahrhunderts vor allem
von Laurent Schwartz und Sergei Sobolev entwickelt wurde und sowohl innerhalb
der Funktionalanalysis, als auch in Anwendungen (partielle Differentialgleichungen, theoretische Physik) einen zentralen Platz einnimmt.
Als Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs wird statt der ''klassischen''
Zuordnung $\mathbb{R}\ni x\mapsto f(x)$ die Abbildung $\varphi\mapsto\int
f(x)\varphi(x)\,dx$ betrachtet, wobei $\varphi$ Element eines geeigneten
Funktionenraums $\cal{D}$ ist; verallgemeinerte Funktionen sind also lineare,
setige Funktionale auf $\cal{D}$.
Dieser Begriffsrahmen ist besonders gut geeignet, um für (klassisch)
nichtdifferenzierbare oder sogar unstetige Funktionen (etwa die Heaviside'sche
Sprungfunktion oder die Dirac'sche Deltafunktion) einen Ableitungsbegriff
zu entwickeln und eine reichhaltige Theorie verallgemeinerter Funktionen zu ermöglichen.
In der Vorlesung wird die Theorie der Distributionen auf ''elementarem'' Niveau
(also ohne Einbeziehung der Theorie lokalkonvexer Vektorräume) entwickelt.
Voraussetzungen zum erfolgreichen Besuch der Vorlesung sind daher lediglich
gute Kenntnisse aus Analysis (etwa im Umfang der Grundvorlesungen Analysis 1-4).
Neben der Darstellung der theoretischen Apsekte des Themas werden wir auch
Anwendungen vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen
(Fundamentallösungen der klassischen PDEs) und der mathematischen Physik
besprechen, sodaß sich der Besuch der Vorlesung auch für StudentInnen der
(theoretischen) Physik lohnt.
Wir werden uns im Wesentlichen am Buch ''Introduction to the Theory of Distributions''
von G. Friedlander und M. Joshi (Cambridge University Press, 2nd Edition, 1998)
orientieren. Weitere Literatur ist hier
angegeben. Begleitend zur Vorlesung bieten wir auch ein
Seminar
(802398 SE Seminar (Analysis): Verallgemeinerte Funktionen, siehe
gesonderte Ankündigung) an,
in dem speziell auf Anwendungen der
Distributionentheorie eingegangen wird.
Im kommenden Wintersemester planen wir eine Fortsetzung der Vorlesung
(Distributionentheorie 2), in der wir uns vor allem mit Fouriertransformation
und der Spektralanalyse von Singularitäten (mikrolokaler Analysis) befassen werden.
Zielpublikum: DiplomstudentInnen der Mathematik und (theoretischen) Physik,
LehramtstudentInnen der Mathematik
Positionierung im Studienplan: Diplomstudium Mathematik, 2. Abschnitt,
Studienschwerpunkt Analysis.
Beginn: Mittwoch, 6.3. 13:15, Hs. 5 (Sensengasse 8).
Ziel dieses Seminars ist es, konkrete Anwendungen der Distributionentheorie
selbständig zu erarbeiten und zu präsentieren.
Als Grundlage dient das Buch ''Problems in Distributions and Partial Differential
Equations'' von C. Zuily (North Holland Mathematics Studies 143, 1988).
Das Seminar ist als Begleitung und Vertiefung der Vorlesung
(800515 VO Distributionentheorie, siehe
gesonderte Ankündigung)
gedacht, kann aber bei vorhandenen Vorkenntnissen selbstverständlich
auch unabhängig von dieser besucht werden.
Die engere Auswahl der Themen richtet sich selbstverständlich nach den Wünschen der
Teilnehmer. Insbesondere können Anwendungen in der (theoretischen) Physik behandelt
werden, sodaß ein Besuch des Seminars auch für DiplomstudentInnen der Physik interessant ist.
Neben dem fachlichen Inhalt des Seminars ist uns vor allem die Vermittlung von
Präsentationstechnik und fachlicher Diskussionskultur ein großes Anliegen, das
in diesem Seminar nicht zu kurz kommen wird.
Zielpublikum: DiplomstudentInnen der Mathematik und (theoretischen) Physik,
LehramtstudentInnen der Mathematik
Positionierung im Studienplan: Diplomstudium Mathematik, 2. Abschnitt,
Studienschwerpunkt Analysis.
Beginn: Mittwoch, 6.3. 15:00, Hs. 5 (Sensengasse 8).