Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B46i (2002), 25 pp.
F. Ben saïd and Jean-Louis Nicolas
Even Partition Functions
Abstract.
Let A be a set of positive
integers. Let us denote by p(A,n) the number of
partitions of n with parts in A.
While the study of the parity of the classical partition function
p(N,n) (where N is the set of positive integers) is a deep and
difficult problem, it is easy to construct a set A for which
p(A,n) is even for n large enough: as explained in a paper of
I.Z. Ruzsa, A. Sárközy and J.-L. Nicolas published in 1998 in the
Journal of Number Theory, if B is a subset of
{1,2,...,N}, there is a unique set A=A0(B,N)
such that the intersection of
A and
{1,2,...,N} is equal to B
and p(A,n) is even for
n>N.
In this paper we recall some properties of the sets
A0(B,N),
we describe the factorization into primes
of the elements of the set A0({1,2,3},3), and prove that
the number of elements of this set up to x is asymptotically
equivalent to c x / (log x)3/4, where
c=0.937....
Résumé.
Si A est un ensemble d'entiers positifs,
nous noterons p(A,n)
le nombre de partitions de n dont les
parts sont dans A. L'étude de la parité de la fonction
usuelle de partition p(N,n)$ (où N
est l'ensemble des entiers
positifs) est un problème profond et difficile; mais il est facile
de construire un ensemble A tel que le nombre
p(A,n)
soit pair pour tout n assez grand: dans un article paru au
Journal of Number Theory en 1998, I.Z. Ruzsa, A. Sárközy et
J.-L. Nicolas montrent que si B est un sous-ensemble de
{1,2,...,N}, il existe un seul ensemble
A=A0(B,N)
tel que l'intersection de A et {1,2,...,N} est égale
à B et p(A,n)
est pair pour n>N.
Dans cet article, nous rappelons quelques propriétés des ensembles
A=A0(B,N), nous décrivons la
décomposition en facteurs premiers des éléments de
A0({1,2,3},3)
et nous montrons que le nombre des éléments de
cet ensemble inférieurs à x est équivalent à
c x / (log x)3/4, où c=0.937....
Received: March 16, 2002; Accepted: April 9, 2002.
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