Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B21f (1989), 12
pp.
[Formerly: Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1990, 413/S-21, p.
37-45.]
Henri Gaudier
Multiplication des matrices et vecteurs de Witt
Abstract.
Dans la théorie classique des invariants, on considère
k un corps algébriquement clos de caractéristique 0,
et GLn,k le groupe des matrices inversibles n x n
sur k. On s'intéresse aux représentations linéaires de GLn,k,
c'est à dire aux actions:
GLn,k x V -> V,
où V est un espace vectoriel sur k, ou bien aux homomorphismes
de groupes:
\rho : GLn,k -> GL(V) =
GLm,k,
qui sont rationnels, et même polynômiaux, c'est à dire que pour
tout i',j', \rho((xi,j))i',j' in
k[xi,j]. Le morphisme \rho
se prolonge alors en un homomorphisme multiplicatif:
\rho : Mn,k -> Mm,k,
qui est lui aussi polynômial.
Le but de ce travail est de construire un anneau, noté LMn,k,
tel que tout morphisme \rho ayant les propriétés précédentes ait
une décomposition:
Mn,k -> LMn,k -> Mm,k,
où la première flèche est un homomorphisme multiplicatif fixé,
et la seconde est un homomorphisme d'anneaux déterminé de
fa\c con unique par \rho. La donnée d'une représentation polynômiale
de Mm,k sera donc équivalente à celle d'un module sur l'anneau
LMn,k. On peut donc, de ce point de vue considérer
LMn,k comme l'algèbre du monoï de
Mn,k.
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