Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B15a (1986), 11
pp.
[Formerly: Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1987, 340/S-15, p.
39-49.]
Jacques Désarménien
La démonstration des identités de Gordon
et MacMahon et de deux identités nouvelles
Abstract.
Les identités de Gordon et de MacMahon peuvent être
interprétées comme les fonctions
génératrices des tableaux semi-standard en des
puissances de q, les exposants étant les entiers de 1
à n pour Gordon et les entiers impairs de 1 à (2n-1)
pour MacMahon. La forme de ces tableaux est quelconque, mais leur
longueur est limitée. MacMahon conjectura son identité
dans la terminologie des partitions planes; le passage aux tableaux
semi-standard est facile et classique. Gordon, de son côté,
démontra son identité, mais publia sa
démonstration beaucoup plus tard.
Les deux identités furent démontrées
simultanément par Andrews et Macdonald.
La démonstration d'Andrews est essentiellement un calcul de
déterminant, nécessitant de nombreuses manipulations
de lignes et de colonnes; le résultat apparaît
finalement assez miraculeux. La démonstration de Macdonald a
l'avantage de se rattacher à un modèle classique,
celui des systèmes de racines, et les manipulations, assez
nombreuses aussi, y sont un peu plus naturelles.
Dans la présente note, nous donnons les grandes
étapes de la démonstration de Macdonald et nous
indiquons brièvement comment, par la même
méthode, on obtient deux identités qui
généralisent une identité de
Desainte-Catherine et Viennot.
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