Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 7.3
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 7.3 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 7.3.4 (Lösung)
Eine Großhandelsfirma für Schulprodukte liefert an den Einzelhändler $27$ Krötenaugen, $53$ Pakete Froschlaich und $182g$ Käferbeine. Der Einzelhändler hatte aber $31$ Krötenaugen, $51$ Pakete Froschlaich und $200g$ Käferbeine bestellt. Um wie viel ist die Lieferung falsch? Was hat das Ergebnis mit Verbindungsvektoren zu tun?Aufgabe 7.3.6
Führen Sie den Beweis von Proposition 7.3.5 explizit aus.Aufgabe 7.3.9 (Lösung)
Stellen Sie die beiden Vektoren $P=(1,1,5)$ und $Q=(-2,4,1)$ als Linearkombination der Standardbasisvektoren dar.Aufgabe 7.3.10 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Seien $u$, $v$ und $w$ drei beliebige Elemente des $\R^{3}$. Wir sagen, dass $y\in\R^{3}$ dargestellt ist als Linearkombination von $u$, $v$ und $w$, wenn $$ w = \la u+\mu v+\nu w $$ für $\la,\mu,\nu\in\R$. Stellen Sie $R=(-1,4,3)$ als Linearkombination von $A=(-3,-2,0)$, $B=(2,2,1)$ und $C=(0,4,-3)$ dar.Aufgabe 7.3.13
Überzeugen Sie sich davon, dass Proposition 7.3.12 tatsächlich durch ein Umschreiben des Beweises von Proposition 7.2.14 bewiesen werden kann.Aufgabe 7.3.16 (Lösung)
Überprüfen Sie, welche der folgenden Vektoren kollinear sind: $u=(1,2,3)$, $v=(-1,-2,3)$, $w=(-1,-2,-3)$, $x=(-3,-6,9)$. Welche sind gleich orientiert?Aufgabe 7.3.19 (Lösung)
Überprüfen Sie jeweils die Lagebeziehung der folgenden Paare von Geraden:- $g_{Pv}$ und $g_{Qw}$ für $P=(1,2,-1)$, $Q=(1,-1,3)$, $v=(1,3,2)$ und $w=(1,3,0)$,
- $g:X=(1,-3,5)+\la(2,2,-1)$ und $h:X=(2,1,-4)+\mu(1,3,1)$,
- $g_{A:B}$ mit $A=(1,-1,0)$ und $B=(3,1,-10)$ und $\ell:X=(3,0,5)+\nu(-1,-1,5)$.
- $m:X=(2,-1,5)+\si(1,4,-4)$ und $g_{R:S}$ mit $R=(2,3,3)$ und $S=(6,11,-9)$.
Aufgabe 7.3.21 (Lösung)
Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene, die die drei Punkte $P=(1,3,-1)$, $Q=(2,1,0)$ und $R=(3,0,4)$ enthält.Aufgabe 7.3.23
Um das Ende des Beweises in Proposition 7.3.22 vollständig auszuführen, beweisen Sie das folgende Resultat. Für drei Vektoren $u,v,w\in\R^{3}$ sei $D$ wie in (7.21) definiert. Zeigen Sie, dass aus $D=0$ folgt, dass $(\ka,\la,\mu)\neq(0,0,0)$ existiert mit $\ka u+\la v+\mu w=0$. Folgern Sie weiters, dass $\ka\neq 0$ gilt, wenn $v$ und $w$ nicht kollinear sind.Aufgabe 7.3.25 (Lösung)
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden $g: X= (0,1,1)+t(1,1,2)$ mit der Ebene $\eps_{A:B:C}$ mit $A=(0,2,-2)$, $B=(2,0,-1)$ und $C=(-1,1,0)$.Aufgabe 7.3.28 (Lösung)
Überprüfen Sie, ob die folgenden Vektoren linear abhängig sind:- $u=(1,-1,2)$, $v=(3,1,1)$ und $w=(0,-5,4)$,
- $A=(4,1,1)$, $B=(1,3,3)$ und $C=(-1,3,1)$.
Aufgabe 7.3.30
Führen Sie den Beweis von Proposition 7.3.29 zu Ende, indem Sie explizit nachrechnen, dass $g=\eps_{Pu_{1}u_{2}}\cap\eps_{Qv_{1}v_{2}}$ gilt.Aufgabe 7.3.32 (Lösung)
Überprüfen Sie jeweils die Lagebeziehungen der Ebenen. Falls sie einander schneiden, bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden.- $\eps_{A:B:C}$ und $\eps_{Duv}$ mit $A=(2,1,-1)$, $B=(3,4,-2)$, $C=(1,4,0)$, $D=(4,5,1)$, $u=(1,1,1)$ und $v=(1,1,0)$,
- $\eps_{Prs}$ und $\eps_{Qtw}$ mit $P=(3,1,4)$, $Q=(-1,2,1)$, $r=(1,1,1)$, $s=(-1,1,2)$, $t=(0,2,3)$ und $w=(5,-1,-4)$.
Aufgabe 7.3.33
Überlegen Sie, welche möglichen Lagebeziehungen es für drei Ebenen im $\R^{3}$ gibt. Versuchen Sie, Kriterien für alle Möglichkeiten zu finden, indem Sie die Propositionen 7.3.22 und 7.3.29 verwenden.Aufgabe 7.3.36
Führen Sie den Beweis von Proposition 7.3.35 explizit aus.Aufgabe 7.3.37 (Lösung)
Berechnen Sie das innere Produkt der Vektoren $v=(-1,3,4)$ und $w=(9,1,3)$.Aufgabe 7.3.39
Überzeugen Sie sich davon, dass Proposition 7.3.38 tatsächlich durch wortwörtliches Übernehmen des Beweises von Proposition 7.2.40 bewiesen werden kann.Aufgabe 7.3.41 (Lösung)
Berechnen Sie die Norm von $v=(3,1,3)$, und bestimmen Sie den Einheitsvektor in Richtung von $v$.Aufgabe 7.3.43 (Lösung)
Ein radfahrender Ornithologe glaubt, einen seltenen Vogel auf einem Mast am Straßenrand bemerkt zu haben, während er daran vorbeigefahren ist. Er ist schnell unterwegs und benötigt noch $50m$, um das Rad in der Mitte der Straße anzuhalten. Die Straße ist $4m$ breit, und der $18m$ hohe Mast steht $90cm$ vom Straßenrand entfernt. Welche Entfernung hat der Vogel von den Augen des Ornithologen, wenn er auf der Mastspitze sitzt und sich die Augen des Radfahrers $170cm$ über dem Boden befinden?Aufgabe 7.3.44 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie, dass $\|\;\;\|_{1}$ eine Norm auf $\R^{3}$ definiert und dass dann $d_{1}:\R^{3}\x\R^{3}\to\R$ mit $d_{1}(P,Q):=\|Q-P\|_{1}$ eine Metrik ist.Aufgabe 7.3.45 (Erweiterungsstoff)
Überprüfen Sie, dass $d_{0}$ tatsächlich eine Metrik auf $\R^{3}$ ist, und zeigen Sie, dass es keine Norm $\|\;\;\|_{0}$ auf $\R^{3}$ gibt mit $d_{0}(P,Q)=\|Q-P\|_{0}$.Aufgabe 7.3.48 (Lösung)
Bestimmen Sie drei Normalvektoren zu $v=(1,3,-1)$.Aufgabe 7.3.54
Beweisen Sie explizit die Punkte (i)–(iii) aus Proposition 7.3.52.Aufgabe 7.3.55
Überzeugen Sie sich explizit von dem Symmetrieargument, das verwendet wurde, um Punkt (iv) in Proposition 7.3.52 zu beweisen.Aufgabe 7.3.56 (Lösung)
Berechnen Sie das Kreuzprodukt der beiden Vektoren $u=(1,3,-2)$ und $v=(-1,1,5)$. Rechnen Sie nach, dass in der Tat $u\perp(u\x v)$ und $v\perp(u\x v)$ gelten.Aufgabe 7.3.60 (Lösung)
Bestimmen Sie eine Ebenengleichung der Ebene $\eps_{P:Q:R}$ mit $P=(1,-2,3)$, $Q=(2,4,-1)$ und $R=(1,3,0)$.Aufgabe 7.3.61 (Lösung)
Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene $\eps:5x-3y+2z=12$.Aufgabe 7.3.62 (Lösung)
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden $g: X= (0,1,1)+t(1,1,2)$ mit der Ebene $\eps:3x+5y+4z=25$.Aufgabe 7.3.63 (Lösung)
Wo und unter welchem Winkel schneidet die Gerade $g:X=(6,3,-4)+t(2,1,-2)$ die $x_{1}$–$x_{2}$–Ebene?Aufgabe 7.3.64 (Lösung)
Gegeben seien die Punkte $A=(2,-3,-1)$, $B=(1,3,1)$, $C=(-2,-3,4)$ und $D=(3,4,5)$. Berechnen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel zwischen der Gerade $g_{A:D}$ und der Ebene $\eps_{A:B:C}$.Aufgabe 7.3.65 (Lösung)
Gegeben sind die beiden Geraden $g:X=(1,2,1)+s (3,-4,6)$ und $h:X=(3,0,-1)+t (6,-1,0)$. Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene, die die Gerade $g$ enthält und zur Geraden $h$ parallel ist.Aufgabe 7.3.66 (Lösung)
Zeigen Sie, dass die Geraden $g:X=(1,2,3)+s(0,-1,1)$ und $h:X=(3,2,1)+t(1,0,1)$ windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand.Aufgabe 7.3.67 (Lösung)
Gegeben sind die Ebenen $\eps_1:2x+3y+4z=0$ und $\eps_2:3x-y+5z=0$. Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden.Aufgabe 7.3.70
Führen Sie den Beweis von Proposition 7.3.68 explizit aus.Aufgabe 7.3.71 (Lösung)
Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P=(-1,6,0)$ von der Ebene $\varepsilon:3x-6y+2z=10$ mit Hilfe des Lotfußpunktes, also des Schnittpunktes von $\eps$ mit der Normalgeraden auf $\eps$ durch $P$. Bestimmen Sie dann den Abstand von $P$ zu $\eps$ mit Hilfe der Hesseschen Normalform von $\eps$. Vergleichen Sie die Ergebnisse und den Rechenaufwand.Aufgabe 7.3.72 (Lösung)
Gegeben seien der Punkt $P=(5,4,3)$ und die Gerade $g:X=(9,1,3)+t(3,4,-5)$ im Raum.- Bestimmen Sie die Gleichung der Normalebene $\varepsilon$ auf $g$ durch $P$.
- Berechnen Sie den Schnittpunkt von $\varepsilon$ mit $g$.
- Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$.
Aufgabe 7.3.73 (Lösung)
Verwenden Sie ihre Ergebnisse aus Aufgabe 7.3.33, um jeweils die Lagebeziehungen der folgenden Ebenen zu bestimmen:- $\eps_{1}:2x-y+3z=4$, $\eps_{2}:-x+4y+z=11$ und $\eps_{3}:-5x+2y-z=-5$,
- $\eta_{1}:x+y-2z=6$, $\eta_{2}:-2x+3y-z=3$ und $\eta_{3}:5x+2y-7z=21$,
- $\rho_{1}:3x+y-2z=8$, $\rho_{2}:x+y-3z=9$ und $\rho_{3}:-6x-2y+4z=12$.
Aufgabe 7.3.76 (Lösung)
Gegeben sind die Punkte $A=(4,1,1)$, $B=(2,4,5)$ und $C=(-1,-2,3)$. Berechnen Sie den vierten Eckpunkt $D$ des Parallelogrammes $ABCD$ sowie dessen Flächeninhalt.Aufgabe 7.3.77 (Lösung)
Gegeben sei die Ebene $\eps: 6x +4 y+3z=24$. Ihre Schnittpunkte mit den drei Koordinatenachsen werden mit $A,B,C$ bezeichnet. Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders, der aus diesen drei Punkten und dem Ursprung gebildet wird.Aufgabe 7.3.78 (Lösung)
Von der $133\,m$ über einem See liegenden Spitze eines Hügels sieht man zwei Boote. Das eine Boot erscheint in nördlicher Richtung unter dem Tiefenwinkel $39^\circ$, das andere in östlicher Richtung unter dem Tiefenwinkel $29^\circ$. Berechnen Sie die Entfernung der beiden Boote.Aufgabe 7.3.79 (Lösung)
Die Grundkante der (quadratischen) Cheopspyramide ist $230\,m$ lang, die Seitenflächen sind unter $51{,}9^{\circ}$ zur Grundfläche geneigt. Berechnen Sie die Höhe, die Länge einer Seitenkante und den Rauminhalt (das Volumen) der Pyramide.Hinweis: Setzen Sie für die Berechnung des Volumens die Pyramide aus zwei Tetraedern zusammen.
Aufgabe 7.3.81 (Lösung)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel $S_{5}(3,1,-2)$ und schneiden Sie diese mit der Geraden $g:X=(1,3,1)+\la(1,-1,1)$.Aufgabe 7.3.82 (Lösung)
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $\varepsilon$, die durch die Schnittgerade der Ebenen $2x_{1}+x_{2}+5x_{3}=31$ und $-4x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=50$ geht und den Punkt $P=(-5,2,3)$ enthält. Berechnen Sie eine Gleichung der Kugel, die diese Ebene im Punkt $P$ berührt und durch den Punkt $Q=(-6,0,-4)$ geht.Aufgabe 7.3.86 (Lösung)
Bestimmen Sie jeweils $A_{i}+A_{j}$, $A_{i}A_{j}$ und $A_{i}x_{j}$ für $i,j=1,2,3$: \begin{gather*} A_{1} := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2\\2 & \;3\; & \;4\; \end{pmatrix},\quad A_{2} := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\1 & 3 & 5\\\;2\; & \;1\; & -1 \end{pmatrix},\quad A_{3} := \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\\;0\; & \;0\; & \;4\; \end{pmatrix}, \end{gather*} \begin{gather*} x_{1} := \begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix},\quad x_{2} := \begin{pmatrix} -1\\2\\4 \end{pmatrix},\quad x_{3} := \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}. \end{gather*}Aufgabe 7.3.88
Machen Sie den Beweis von Theorem 7.3.87 explizit.Aufgabe 7.3.90
Überprüfen Sie, dass das Bild $f(W)$ in Beispiel 7.3.89 tatsächlich das angegebene Parallelepiped ist.Hinweis: Überlegen Sie zunächst, wie die Ecken von $W$ aussehen. Dann berechnen Sie für jede Ecke $E$ von $W$ das Bild $f(E)$ und zeigen Sie, dass diese Bilder die Ecken eines Parallelepipeds bilden. Danach überlegen Sie, warum das Innere von $W$ auf das Innere des Parallelepipeds abgebildet wird.