Einführung in das mathematische Arbeiten

Aufgabe 6.6.1 (Erweiterungsstoff)

Beweisen Sie die Formeln (6.18) für die Operationen in $\H$.

Aufgabe 6.6.2 (Erweiterungsstoff)

Betrachten wir $M_{2}(\C)$, die $2\x2$–Matrizen mit komplexen Einträgen. Zeigen Sie, dass die Menge $H$ der komplexen Matrizen der Form $$ \begin{pmatrix} z & w \\ -\bar w & \bar z \end{pmatrix} $$ mit der Matrixaddition und der Matrixmultiplikation einen Schiefkörper bildet. Zeigen Sie weiters, dass die Abbildung $\ph:\H\to H$ mit $$ \ph(a+ib+jc+kd):= \begin{pmatrix} a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib \end{pmatrix} $$ ein Isomorphismus von $\H$ auf $H$ ist.

Aufgabe 6.6.3 (Erweiterungsstoff)

Beweisen Sie, dass die Oktonionen bezüglich $+$ eine abelsche Gruppe bilden, dass weiters die Distributivgesetze gelten, und zeigen Sie, dass $0$ Nullelement und $1$ Einselement sind. Überzeugen Sie sich weiters davon, dass die Oktonionen der Form $(q, 0)$ isomorph zu den Quaternionen sind.

Aufgabe 6.6.4 (Erweiterungsstoff)

Beweisen Sie, dass für Oktonionen das Alternativgesetz gilt.