Einführung in das mathematische Arbeiten - Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 6.6

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 6.6

Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 6.6 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.

Aufgabe 6.6.1 (Erweiterungsstoff)

Beweisen Sie die Formeln (6.18) für die Operationen in

Aufgabe 6.6.2 (Erweiterungsstoff)

Betrachten wir M2(

), die 2\x2–Matrizen mit komplexen Einträgen. Zeigen Sie, dass die Menge H der komplexen Matrizen der Form

\begin{pmatrix} z & w \\ -\bar w & \bar z \end{pmatrix}

mit der Matrixaddition und der Matrixmultiplikation einen Schiefkörper bildet. Zeigen Sie weiters, dass die Abbildung \ph:\H\to H mit

\ph(a+ib+jc+kd):= \begin{pmatrix} a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib \end{pmatrix}

ein Isomorphismus von \H auf H ist.

Aufgabe 6.6.3 (Erweiterungsstoff)

Beweisen Sie, dass die Oktonionen bezüglich + eine abelsche Gruppe bilden, dass weiters die Distributivgesetze gelten, und zeigen Sie, dass 0 Nullelement und 1 Einselement sind. Überzeugen Sie sich weiters davon, dass die Oktonionen der Form (q, 0) isomorph zu den Quaternionen sind.

Aufgabe 6.6.4 (Erweiterungsstoff)

Beweisen Sie, dass für Oktonionen das Alternativgesetz gilt.