Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 6.5
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 6.5 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 6.5.3 (Lösung)
Führen Sie den Beweis, dass die Addition auf $\C$ assoziativ und kommutativ ist, explizit aus. Rechnen Sie auch nach, dass $(-a_{1},-a_{2})$ das additiv Inverse zu $(a_{1},a_{2})$ ist.Aufgabe 6.5.4 (Lösung)
Zeigen Sie explizit, dass die Multiplikation auf $\C$ kommutativ und $(1,0)$ das Einselement ist.Aufgabe 6.5.9 (Lösung)
Weisen Sie die obigen drei Identitäten nach.Aufgabe 6.5.10 (Lösung)
Bestimmen Sie für die komplexen Zahlen $$z_{1}=3+2i,\ z_{2}=2-4i,\ z_{3}=-i,\ z_{4}=1-i,\ z_{5}=5-3i$$ $\bar z_{i}$, $|z_{i}|$, $\arg z_{i}$ und $1/z_{i}$ für $i=1,\dots,5$. Berechnen Sie weiters $z_{i}+z_{j}$, $z_{i}-z_{j}$, $z_{i}z_{j}$ und $z_{i}/z_{j}$ für $i,j=1,\dots,5$. Stellen Sie das Resultat jeweils in der Form $a+ib$ mit $a,b\in\R$ dar.Aufgabe 6.5.11 (Lösung)
Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der Form $a+ib$ mit $a,b\in\R$: $$z_1=\frac{1+i}{7-i},\ z_2=\left|\frac{2-6i}{3+8i}\right|,\ z_3=(9+6i)^{4},\ z_4=i^{101},\ z_5=\displaystyle \sum_{n=1}^{1234} i^n.$$Aufgabe 6.5.12 (Lösung)
- Multiplizieren Sie $3 + \frac{4}{3} i$ mit $-2 + \frac{i}{2}$. Wie sieht das in der komplexen Zahlenebene aus?
- Was ist in $\mathbb{C}$ das Inverse zu $\frac{7}{2} - \frac{2}{4} i$?
Aufgabe 6.5.13 (Lösung)
Lösen Sie folgendes Gleichungssystem über dem Körper der komplexen Zahlen: \begin{align*} \frac {1} {i} x +(2+i)y &=0\\ 2 x - (1-i)y &=2. \end{align*}Aufgabe 6.5.16 (Lösung)
Berechnen Sie für die komplexen Zahlen $z_{i}$ aus Aufgabe 6.5.10 die Ausdrücke $\sqrt{z_{i}}$ und $\sqrt{\bar{z_{i}}}$.Aufgabe 6.5.17 (Lösung)
Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden komplexen quadratischen Polynome:- $p(z) = z^{2}+8z+25$,
- $q(z) = z^{2}-(6+2i)z+43-6i$,
- $r(z) = z^{2}+(5-5i)z-13i$.
Aufgabe 6.5.18 (Lösung)
Für welchen Wert von $k$ hat die Gleichung $$x^2= 3 + (kx-3)^2$$ genau eine Lösung?Aufgabe 6.5.22 (Lösung)
Bestimmen Sie alle (auch die komplexen) Nullstellen der Polynome- $p(x)=x^3-x^2+x-1$,
- $p(x)=x^{3}+2x^2+4x+8$,
- $p(z)=z^{2}-(1+i)z+i$,
- $p(z)=z^4-(2-i)z^3+(3-2i)z^2-(4-i)z+2$.
Aufgabe 6.5.23 (Lösung)
Bestimmen sie die Lösungsmengen über $\C$ folgender Gleichungen:- $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$,
- $\frac{1}{x^4} - \frac{82}{x^2} + 81 = 0$.