Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 6.4
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 6.4 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 6.4.6 (Lösung)
Sei $K$ ein geordneter Körper und $1 < a\in K$. Zeigen Sie, dass aus $x\geq a$ und $n\geq 2$ folgt, dass $x^{n} > a$ gilt.Hinweis: Verwenden Sie Proposition 6.3.2(iii) und vollständige Induktion nach $n$.
Aufgabe 6.4.7 (Lösung)
Sei $K$ ein geordneter Körper und $1 > b > 0\in K$. Zeigen Sie, dass für $n\geq 2$ folgt, dass $b^{n} < b$ ist.Hinweis: Verwenden Sie Proposition 6.3.2(ii) und vollständige Induktion nach $n$.
Aufgabe 6.4.13 (Lösung)
Beweisen Sie, dass $|x|=|{-x}|$ und $|x-y|=|y-x|$ für $x,y\in\R$ gelten.Aufgabe 6.4.14 (Lösung)
Zeigen Sie für $a,b\in\R$- $\displaystyle\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\qquad (b\not=0),$
- $\Big||a|-|b|\Big|\leq\left\{\begin{array}{c}|a-b|\\|a+b|\end{array}\right.$.
Aufgabe 6.4.15 (Lösung)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:- $a^2=|a^2|=|a|^2$, $\forall a\in\R$,
- Seien $x,x_0\in\R$ und $\R\ni\varepsilon > 0$. Dann gilt $$ |x| < \varepsilon\Leftrightarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \quad\text{ und }\quad |x-x_0| < \varepsilon\Leftrightarrow x_0-\varepsilon < x < x_0+\varepsilon. $$
Aufgabe 6.4.16 (Lösung)
Zeigen Sie für $a,b\in\R$ die Cauchy–Ungleichung \[ |ab|\leq\frac{a^2+b^2}{2}.\]Hinweis: Verwenden Sie die bekannten Formeln für $(a\pm b)^2$ und Proposition 6.3.2(v), also die Tatsache, dass Quadrate nichtnegativ sind.
Aufgabe 6.4.17 (Lösung)
Beweisen Sie dass für $a,b\in\R$ gelten:- $\displaystyle\max\{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|}{2}$,
- $\displaystyle\min\{a,b\}=\frac{a+b-|a-b|}{2}$, und
- $\max\{a,b\}-\min\{a,b\}=|a-b|$.
Aufgabe 6.4.18 (Lösung)
Finden Sie die Lösungsmenge in $\R$ der folgenden Systeme von Gleichungen bzw. Ungleichungen.- $5-3x\leq2x+1\leq3x-7$,
- $x+1\leq x+4\leq 6\leq 5x+4$,
- $|2x-3|=|4x+9|$,
- $|3x+4|\leq|x+8|$,
- $4x^{2}-9x\leq 5$,
- $|2x-5|\geq|x^{2}+8|$,
- $\tfrac{5+x}{5-x}\leq2$,
- $3-\tfrac{x+1}{x-2}<\bigl|\tfrac{x-4}{x-2}\bigr|$,
- $\tfrac13<\tfrac{2x-1}{3-2x}<\tfrac12$,
- $|3x^{2}-8x-7|\leq 4$,
- $325-2x(2x-39)<8x(x-4)^{2}-(2x-5)^{3}$.
Hinweis: Hier können Sie graphisch oder rechnerisch vorgehen!
Aufgabe 6.4.19
Finden Sie die Lösungsmenge in $\R$ der folgenden Gleichungen und Ungleichungen in Abhängigkeit von $y$. Veranschaulichen Sie die Lösungsmenge im $\R^{2}$.- $|x||y-1|\leq 1$,
- $|x+y|\leq|x-y|$,
- $|x+1|^{2}+|y|^{2}=1$,
- $3|x|+5|y|\leq 1$,
- $|x^{2}-2x-6y|\leq 9$,
- $|x^{2}-4x+4|\leq|2y|$.