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Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 6.3
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 6.3 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 6.3.3
(Lösung)
Sei $(K,+,\cdot,\leq)$ ein geordneter Körper. Beweisen Sie folgende
Aussagen für $a,b,c,d\in K$, ausschließlich unter Verwendung der
Körperaxiome, der Definition einer Ordnung, der Ordnungsaxiome und
Proposition 6.3.2. Begründen Sie jeden ihrer Schritte!
- (i) Gleichsinnige Ungleichungen "dürfen" addiert
werden, genauer: aus $a < b$ und $c < d$ folgt $a+c < b+d$, oder in
leicht verständlicher Symbolik:
$$\begin{array}{rcl} a & < & b\\ c & < & d\\\hline
a+c& < &b+d\end{array}$$
- (ii) Gleichsinnige Ungleichungen "dürfen" immer
dann miteinander multipliziert werden, wenn alle Glieder positiv
sind, genauer: aus $0 < a < b$ und $0 < c < d$ folgt $ac < bd$, oder in
leicht verständlicher Symbolik:
$$\begin{array}{rcccl} 0& < &a& < &b\\ 0& < &c& < &d\\\hline
&&ac& < &bd\end{array}$$
Bemerkung: Aus (i) folgt (setze $c=0$), dass
eine Kleinerbeziehung wahr bleibt, falls auf der rechten Seite eine
positive Zahl addiert wird; man sagt: die Abschätzung $a < b$ wird
vergröbert, wenn eine positive Zahl zu $b$ addiert wird.
Aufgabe 6.3.4
(Lösung)
Zeigen Sie: In einem geordneten Körper folgt aus $0 < a < b$
\[a^{2} < ab < b^{2}.\]
Aufgabe 6.3.5
(Lösung)
Zeigen Sie: In einem geordneten Körper folgt aus $a < b$
\[a < \frac{a+b}{2} < b.\]
Dabei setzen wir $2=1+1$.
Aufgabe 6.3.7
(Lösung)
Beweisen Sie, dass $\sqrt3$ irrational ist.
Aufgabe 6.3.8 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie, dass die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl $n$
genau dann rational ist, wenn $n=k^{2}$ gilt für ein $k\in\N$.
Aufgabe 6.3.12 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie die Wohldefiniertheit der Addition in $\Q$ für den
zweiten Term.
Aufgabe 6.3.13 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie die Wohldefiniertheit der Multiplikation in $\Q$ für
den zweiten Faktor.
Aufgabe 6.3.15 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie die Wohldefiniertheit der Ordnungsrelation auf der
rechten Seite.
